Операционные характеристики работы СМО.

При выполнении условий стационарности нас будут интересовать следующие показатели работы СМО, они называются операционными характеристиками.

– вероятность того, что в системе находится n клиентов;

– среднее число находящихся в системе клиентов;

– среднее число клиентов в очереди на обслуживание;

– средняя продолжительность пребывания клиента в системе;

– средняя продолжительность пребывания клиента в очереди.

По определению математического ожидания

; . (19)

Здесь с – число каналов обслуживания.

Тогда – это среднее число занятых каналов обслуживания, обозначим его , тогда произведение - средняя частота выходного потока обслуженных заявок. С другой стороны .

Но при установившемся режиме работы СМО, когда операционные характеристики не зависят от времени, среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени должно равняться среднему числу заявок, выбывающих из системы в единицу времени.

В противном случае число клиентов в системе в момент времени t будет зависеть от t.

Таким образом, должно выполняться равенство

или (20)

Если средняя скорость обслуживания одного канала равна клиентов в единицу времени, то средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна , поэтому

(21)

Если в очереди клиентов (в системе заявок), то среднее время пребывания в очереди последнего стоящего в ней клиента равно . Чтобы последняя заявка покинула очередь, должны быть обслужены заявок из очереди и одна из тех, кто уже обслуживается. Это – условное математическое ожидание, а безусловное среднее время нахождения в очереди равно

или

. (22)

Отсюда

(23)

Формулы 22 и 23 в литературе по теории массового обслуживания называются формулами Литтла.

Если не каждая из поступивших заявок допускается в СМО из-за того, что блок ожидания имеет ограниченную вместимость, вместо параметра рассматривается величина - среднее количество заявок, действительно допускаемых в блок ожидания СМО в единицу времени. Тогда в формулах 20, 22, 23 вместо следует писать :

; ; . (24)

Ясно, что .