Поглинаючі ланцюги

Елементи матриці показують середню кількість попадань в відповідні стани (номер колонки), якщо рух починати зі стану, що відповідає номеру рядка

Інша необхідна інформація обчислюється з наступних формул

1. Дисперсія числа попадань процесу в деякий заданий стан при певному початковому стані: N₂=N(2N_diag–I)–N [1] _sqr. (2.10). Елементи матриці показують дисперсію кількості попадань в відповідні стани (номер колонки), якщо рух починати зі стану, що відповідає номеру рядка.

2. Середнє значення та дисперсія числа попадань процесу в заданий нестійкий стан. t₂=(2N–I)t-t²; (2.11)де t=Nx, а x – одиничний вектор.

3. Ймовірність того, що процес попаде в заданий поглинаючий стан (номер колонки), якщо він почне рух з заданого нестійкого стану (номер рядка) B=NR. (2.12)

Приклад

Процес описується наступною матрицею переходів:

Після перестановок рядків та колонок отримаємо наступну канонічну форму матриці переходів:

Зверніть увагу, що рядки тепер мають нові назви! Звідси

.

Тоді канонічна матриця ланцюга матиме наступний вигляд

Після цього

Таким чином, якщо почати рух зі стану s₁, то середнє число попадань в стан s₄ (до того, як система попаде в один з поглинаючих станів) буде 3/2, а в s₁– 2. Дисперсія цих значень дорівнює відповідно 9/4 і 20/4.

Далі визначаємо

Тобто, середнє значення числа попадань процесу в стан s₁ до поглинання 3, 5 при дисперсії цього значення 33/4.

Тобто, якщо процес почнеться зі стану s₁, то він з однаковою ймовірністю закінчиться в s₃, або s₂, Якщо ж він почнеться з s₄, то ймовірність завершитися в s₃ дорівнює 2/3.

Література

1. Е.В. Бережная, В.И. Бережной Математические методы моделирования экономических систем –М.: Финансы и статистика, 2001. –368с.

2. Бусленко Н.П., Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. М.: Советское радио. –1973, –440с.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей –М.: –Высшая школа, –1999. –576с.

4. Волков Л.И. Управление эксплуатацией летательных комплексов –М.: ВШ, 1981. –368с.

5. Енциклопедія кібернетики, у 2-х тт.., Т1.584с. Т2. 574с К.: УРЕ, 1973

6. Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику –М.: Изд-во “Иностранная литература”. –1963. –486с.

7. Креденцер Б.П. Прогнозирование надежности систем с временной избыточностью –К.: Наукова думка, –1978. –240с.

8. Д.Кук, Г. Бейз Компьютерная математика М.: Наука, 1990.–384с.

9. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения: в 2-х тт.Т1: Мир, –1984. –528с.

10. Д. Тёрнер Вероятность, статистика и исследование операций –М.: Статистика, –1976. –431с.