Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Из всех вопросов темы 1.8 изучается вопрос «Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка».

После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно " Методическим указаниям к выполнению контрольной работы".

1.8.1. Решение задачи Коши методом Эйлера

Пусть требуется найти на отрезке [ a, b ] решение дифференциального уравнения 1-го порядка

(1)

с начальным условием

(2)

(задача Коши). Для этого отрезок, на котором ищется решение задачи, разбивают на частей с шагом и находят значения в точках . Очевидно, что при этом . Значения определяют по формуле

. (3)

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет , где .

Пример. Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0, 2; 1, 2] с шагом 0, 1. Уравнение:

,

начальное условие: .

○ Для численного решения заданного уравнения вида (1) с начальным условием (2) нам потребуется выполнить шагов. На каждом шаге надо вычислить значения и .

Первый шаг. (k = 0). Имеем:

; . Вычислим

.

Тогда и, следовательно, по формуле (3) . Делаем следующий шаг.

Второй шаг. (k= 1).

.

Вычислим .

Тогда и . И т.д.

Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы 1.

Таблица 1.

	0, 2	0, 25	0, 6513	0, 0651	0, 3151
	0, 3	0, 3151	0, 7784	0, 0778	0, 3929
	0, 4	0, 3929	0, 9316	0, 0932	0, 4861
	0, 5	0, 4861	1, 1160	0, 1116	0, 5977
	0, 6	0, 5977	1, 3371	0, 1337	0, 7314
	0, 7	0, 7314	1, 6019	0, 1602	0, 8916
	0, 8	0, 8916	1, 9184	0, 1918	1, 0835
	0, 9	1, 0835	2, 2962	0, 2296	1, 3131
	1, 0	1, 3131	2, 7466	0, 2747	1, 5878
	1, 1	1, 5878	3, 2829	0, 3283	1, 9161
	1, 2	1, 9161	3, 2912	0, 3291	2, 3081

Т.о., задача решена. ●

Естественно, процесс вычислений проще организовать в табличном процессоре Excel (Табл.2).

Таблица 2.

Решение находятся в ячейках (k = 0, 1, …, 10). Значения из столбца F переносятся в столбец С со сдвигом на единицу (например, из F6 в С7 и т.д.). Таблица в режиме показа формул – (табл.3).

Таблица 3.

Вопросы для самопроверки по теме 1.8

1. В чём состоит задача Коши?

2. Напишите расчётную формулу метода Эйлера при решении дифференциального уравнения 1-го порядка и формулу оценки погрешности на каждом шаге.