![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Вычеты функций и их применение
Изучаемые вопросы: Теорема Коши о вычетах; Вычисление вычетов; Вычет в бесконечно удалённой точке; Приложение вычетов к вычислению интегралов.
2.6.1. Теорема Коши о вычетах Пусть
Коэффициент
Теорема Коши. Если
○ Исключим точки
(здесь у контуров Но в окрестности
и, интегрируя почленно, получаем:
В этом интеграле все члены, кроме содержащего
Изменив в (4) направление обхода, с учётом (6.) получим (3). ●
2.6.2. Вычисление вычетов 1. Рассмотрим вычисление вычета в полюсе первого порядка (простой полюс). Пусть в окрестности
Умножим обе части этого равенства на
Устремим
Выражению (9) можно придать другой вид, если представить
2. Пусть теперь
откуда, по аналогии с предыдущим пунктом,
Пример 1. □ Найти вычеты □ Полюсы функции Аналогично, найдём, что
2.6.3. Вычет в бесконечно удалённой точке Пусть в окрестности бесконечно удалённой точки
Вычетом в бесконечно удалённой точке называется взятый с противоположным знаком коэффициент при минус первой степени
Пример 2. Найти вычет в бесконечности функции □ Разложение Теорема. Если
2.6.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов Если Основная теорема о вычетах: если
Для вычисления этого интеграла необходимо: 1. Определить контур интегрирования и сделать его рисунок. 2. Найти особые точки подынтегральной функции, которые находятся внутри контура интегрирования, и вычислить вычеты в них, определив тип этих точек. 3. Используя основную теорему о вычетах, найти численное значение интеграла.
Пример 1. Найти несобственный интеграл □ Рассмотрим интеграл от ФКП
Следовательно,
Вопросы для самопроверки по теме 2.6
1. Какой коэффициент ряда Лорана называется вычетом функции 2. Сформулируйте теорему Коши о вычетах. 3. Напишите формулы для вычисления вычетов в полюсе первого порядка, полюсе порядка 4. Чему равна сумма вычетов функции
Все шесть тем этого раздела подробно описаны в Учебном пособии, которое Вам предстоит изучить. В результате Вы сможете решить задачи контрольной работы, варианты которой, в соответствии с вашим шифром, содержатся в разделе 4.
|