Вводные замечания 3 страница

Рис. 5.7.3. Функция времени (а) и спектр сигнала (б)

с ограниченной нелинейной частью

В соответствии с этой теоремой функция x (t) имеет следующее аналитическое разложение:

, (5.7.8)

где – синк-функция или функция отсчетов

. (5.7.9)

Для дальнейшего анализа удобно ввести подвижную систему координат, т.е. сместим начало координат в точку отсчета обозначив . Тогда функция отсчетов примет вид

. (5.7.10)

В (5.7.8) величины представляют значения ис­ходной функции времени x (t), определяемые выражением (5.7.1); их называют отсчетами.

Функция отсчетов обладает следующими свойствами:

1) в момент отсчета она достигает своего наибольшего значения, равного единице;

2) в моменты времени , где p = 1, 2, 3..., функция обращается в нуль;

3) ширина главного лепестка функции отсчетов на нулевом уровне равна ;

4) функции отсчетов ортогональны на бесконечно большом интервале времени.

Функция отсчетов в виде (5.7.10) и ее спектр представлены на рис. 5.7.4.

Теорема, подтвержденная выражением (5.7.8), имеет ряд следствий:

1. Исходя из свойств функции отсчетов в разложении (5.7.8) в момент отсчета существует только одно слагаемое. Следовательно, чтобы передать по каналу связи сообщение, необходимо выполнить следующие операции: а) произвести отсчеты мгновенных значений передаваемого сообщения в моменты времени, отстающие один от другого на время интервал дискретизации; б) передать по каналу связи эти величины отсчетов любым из возможных методов; в) восстановить на приемном конце переданные отсчеты и сформировать импульсы, амплитуды которых были бы равны (или пропорциональны) переданным отсчетам, а длительности импульсов были бы малыми по сравнению с интервалами отсчетов; г) сформировать функции отсчетов, амплитуды которых были бы равны (или пропорциональны) переданным отсчетам; д) просуммировать полученные функции и получить, таким образом, функцию времени, пропорциональную (или равную) переданной функции времени.

Рис. 5.7.4. Функция отсчетов (а) и ее спектр (б)

2. Разложение (5.7.8) можно интерпретировать как дискретный эквивалент свертки последовательности импульсов с амплитудой и с импульсной характеристикой синк-функции аналогового фильтра. Ясно, что эта импульсная характеристика идеального и, следовательно, физически нереализуемого фильтра нижних частот, имеющего передаточную функцию, равную постоянной величине Т в интервале и нулю вне его. Хотя этот фильтр физически нереализуем (его импульсная характеристика является опережающей), его можно все же аппроксимировать, использовав достаточно длительную временную задержку.

3. Разложение (5.7.8) определяет предельную дискретизацию. Действительно, если нарушаются условия первой и второй теорем дискретизации, то в системе возникает явление подмены частот – эффект наложения. Другими словами, если при измерениях с интервалом Т производится выбор значений синусоиды с частотой, большей , то такую выборку можно перепутать с выборкой синусоиды меньшей частоты. Значит, наряду с истинной частотой в выборке появляется и другая (меньшая) частота подмены. Например, в кинематографе колеса движущегося автомобиля всегда вращают в обратную сторону.

5.7.2. Дискретизация с усреднением

Рассмотрим дискретизацию с помощью последовательности импульсов конечной ширины. Таким импульсам соответствуют средние значения функции в течение длительности импульса (рис. 5.7.5). Осуществить операцию, идеально схожую с d-функцией, невозможно. Поэтому d-функцию заменяют " щелевой" функцией с конечным носителем. Если щель имеет прямоугольную форму, то формула взятия замера приобретает вид

Рис. 5.7.5. Дискретизация с усред­нением

(5.7.11)

где q – ширина щели.

Используя прямоугольную функцию , которая равна 1 в интервале (-q/2, q/2) и 0 вне этого интервала, получаем

(5.7.12)

Из равенства

(5.7.13)

находим выражение для дискретизированной функции

. (5.7.14)

Переходя в (5.7.14) к Фурье-образам, определяем

. (5.7.15)

Из (5.7.15) следует, что при усреднении спектр сигнала X(v) заменяется функцией

(5.7.16)

Сомножитель приводит к сдвигу фазы, не изменяя модуль спектральной функции. Спектр X ₁(v)получает­ся из спектра X (v)с помощью функции фильтра, модуль и сдвиг фазы которой равны соответственно и .

Таким образом, вместо X (v)используется периодическое продолжение функции X ₁(v)(рис. 5.7.6). Часть центрированного относительно начала координат спектра равна:

. (5.7.17)

Итак, фильтрация изменяет модуль спектра в раз. Проиллюстрируем это обстоятельство конкретными числовыми данными. Пусть , , , . Коэффициент фильтрации принимает вид . Для того чтобы влияние фильтрации было меньше одного процента для всех частот вплоть до , необходимо выполнение неравенства . Отсюда получаем .

Рис. 5.7.6. Периодическое продолжение функции x (t)

Пусть α = 1 (дискретизация с частотой Котельникова). Тогда , т.е. ширина импульса дискретизации должна быть меньше 16 % расстояния между импульсами.

Пусть α = 5. Тогда , т.е. ширина импульса может составлять 80% расстояния между импульсами. Если влияние фильтрации уменьшить до 0, 1%, то 16 и 80% следует соответственно заменить на 4 и 20%. Поэтому влиянием ширины импульсов дискретизации пренебречь нельзя.

Проиллюстрируем влияние сдвига фаз. Угол сдвига фаз в радианах равен , или в градусах . Поскольку , , то . Сдвиг фазы для будет меньше 5°, если , т.е. . Пусть, как и в предыдущем примере, , что соответст­вует погрешности в модуле не больше 1%. Тогда сдвиг фазы для составит .

5.7.3. Дискретизация сигналов конечной длительности

Рассмотрим сигнал вне интервала (- Т /2, Т /2). Сигнал можно получить из сигнала бесконечной продолжитель­ности, умножив его на прямоугольную функцию :

(5.7.18)

Пусть носителем фурье-образа X (v)сигнала x (t) является интервал , т.е. X (v) = 0 для , тогда

(5.7.19)

Поскольку носитель функции не ограничен, то носитель функции также будет не ограничен. Неограни­ченность носителя функции не позволяет провести дискретизацию сигнала , так как в этом случае частота дискретизации должна быть неограниченно большой, поэтому нельзя осуществить дискретизацию сигнала конечной продолжи­тельности. На практике предполагают, что носители функций и совпадают, т.е. спектры сигналов и определены в одинаковых областях.

Естественно, что в результате такого предположения возни­кает погрешность. Доказано, что для сигнала продолжи­тельностью Т_с вне интервала справедливо выражение

. (5.7.20)

Рассмотрим сигнал неограниченной длительности со спектральным носителем , не усеченный и дискретизированный гребенчатой функцией .Взяв только N импульсов дискретной функции, запишем

. (5.7.21)

Очевидно, этот сигнал неограниченной длительности, по­скольку синк-функция отлична от нуля вне любого конечного интервала, поэтому обычно производится усечение функции :

. (5.7.22)

Доказано, что среднеквадратичная разность между функциями и , т.е. погрешность, вносимая усечением, имеет порядок .Эта погрешность является интегральной, а не локальной разностью между и .Если дискретизация произведена с частотой , то число точек .На практике рекомендуют выбирать , а не .

Следовательно, в большинстве случаев можно проводить дискретизацию усеченного сигнала, предполагая, что носитель спектральной функции совпадает с отрезком и что велико. Ясно, что необходимо проявлять осторожность при интерпретации полученных таким путем результатов.

Приведенные в этом параграфе теоремы дискретизации и связанные с ними методы ограничивают область применения цифровых алгоритмических измерений. Ведь при необходимости обработки сигналов, содержащих высокочастотные составля­ющие, делаются попытки до предела увеличить частоту дискретизации, что всегда связано с различными схемотехничес­кими ухищрениями. Поскольку практически достигаемый в на­стоящее время для сигнального микропроцессора верхний предел частоты дискретизации составляет порядка тысяч мегагерц, то при использовании периодической дискретизации цифровыми методами можно обработать сигналы в относительно узкой полосе частот.

5.8. Цифровое представление информации

Теоретической основой проектирования шкал метрологического кодирования измерительного сигнала являются: цифровое представление измерительной информации и теория алгоритмов кодирования измерительного сигнала.

Основной единицей информации в ЭВМ служит бит, принимающий значения 0 или 1. Очевидно, что 1-битовые данные не подходят для выполнения числовых расчетов, так как позволяют осуществлять последовательный счет только от 0 до 1. Однако бит является очень полезным типом данных, если использовать его значения (0 и 1) для представления двух логических величин – «истинно» и «ложно». Полученный таким образом тип данных называют логическим или булевым. Логический тип данных широко используется в программах для различных целей, например для сохранения результатов операций сравнения, указания особых случаев и вообще для определения двух возможных исходов или условий выполнения операций.

Последовательность, состоящую из двух или большего числа битов, применяют для представления более чем двух величин и условий. Если число битов в последовательности равно п, то имеется возможность составить 2 ⁿ различных комбинаций их значений, при этом группе битов можно присваивать как числовые, так и нечисловые значения.

Совокупность битов, которыми вычислительная машина оперирует одновременно, называют словом. Длина слова у раз­личных ЭВМ обычно находится в пределах 4÷ 64 бит. Для большого числа мини- и микроЭВМ термин «слово» обозначает 16-битовые цепочки.

Операнды и команды являются той информацией, которая обрабатывается в вычислительных устройствах. Эта информа­ция представляет собой числа, буквы, знаки препинания, математические и другие знаки, а также комбинации двоичных разрядов с закодированными в них данными. Форматы информации различны. Вид обработки и способ, по которому должна обрабатываться информация, содержатся в командах.

Подлежащие обработке операнды (данные) и команды представляют собой цифровую информацию. Последняя состо­ит из некоторого числа двоичных выражений или бит. Стандартную установленную длину группы двоичных разрядов называют информационным форматом. Наиболее целесообраз­ный информационный формат для вычислительных устройств определяется в основном обрабатываемой информацией.

В общем случае пользуются двоичной системой счисления. Количество разрядов определяется длиной слова. Программист или оператор работает в отличие от ЭВМ с десятичными числами, а при известных условиях – с восьмеричными или шестнадцатеричными числами. Преобразование систем счисле­ния в ЭВМ выполняет специальная подпрограмма при считыва­нии программы. При изображении чисел в различных системах счисления различают числа с фиксированной и плавающей запятой.

В преобразователях информации и в ЭВМ используют позиционные и непозиционные системы счисления. Некоторое конечное число в позиционной системе счисления можно записать в следующем виде:

(5.8.1)

где В – основание в виде целого числа; – значение разрядов цифр.

Развитие цифровой техники обнаружило по меньшей мере три принципиальных недостатка классической двоичной системы счисления.

1. В (5.8.1) каждому числу z соответствует один и притом единственный двоичный код. На языке теории кодирования это означает, что классическая двоичная нумерация (5.8.1) обладает «нулевой» избыточностью. Так как в реальных условиях всегда возможны сбои и отказы в работе цифровой аппаратуры, реализующей двоичную нумерацию (5.8.1), то в силу «нулевой» избыточности кода такие сбои и отказы не об­наруживаются, следствием чего является низкая информационная надежность цифровой техники, использующей классический двоичный код.

2. Второй недостаток носит сугубо вычислительный характер и состоит в том, что при сложении двух чисел возникают длинные цепочки переносов с младших разрядов в старшие, что принципиально ограничивает быстродействие современных ЭВМ.

3. Третий недостаток составляет проблема «соседнего» коди­рования. Ее суть состоит в том, что двоичные коды соседних чисел (например, 31₁₀ = 011111₂ и 32₁₀ = 100000₂) различаются в большом количестве разрядов. Для перехода от кода числа 31 к коду числа 32 нужно изменять все разряды на проти­воположные (это имеет место на стыке чисел 2 ^{n -1}, 2 ⁿ, 2 ^{n +1}). Но в силу естественных законов производства всегда имеет место разброс по скорости переключения двоичных элект­ронных элементов. В результате «состязаний» между элект­ронными элементами в момент перехода возникает ситуация неопределенности, которая может служить источником сбоев в цифровой аппаратуре.

Особенно остро эта проблема проявляется в АЦП и ЦАП. Так как физически невозможно точно реализовать выполнение следующих тождеств для соседних кодов:

,

где n = 1, 2, 3..., то нарушение этих тождеств является источни­ком весьма сложного (скачкообразного) закона распределения погрешностей по шкале метрологического кодирования АЦП и ЦАП, что значительно усложняет проблему нормирования погрешностей и метрологического контроля современной циф­ровой измерительной техники.

Преодоление указанных недостатков стимулировало разви­тие теории систем счисления и теории избыточного кодирова­ния информации. Одним из подходов в этом направлении являются системы счисления с иррациональными основаниями типа золотой пропорции.

5.9. Системы счисления с иррациональными основаниями

Одним из интересных и перспективных направлений разви­тия цифровой техники для алгоритмических измерений является использование для цифровой обработки систем счисления с иррациональным основанием. К этому направлению относят также коды Фибоначчи. Рассмотрим основные теоретические положения, лежащие в основе построения упомянутых систем счисления.

В последние десятилетия числа Фибоначчи и золотую пропорцию стали использовать в теории кодирования информации. Наметились следующие направления: 1) избы­точные самосинхронизирующиеся коды Фибоначчи; 2) система счисления с иррациональным основанием типа золотой пропорции; 3) теория измерения на основе избыточных измерительных кодов; 4) фибоначчиевы системы счисления.

В перечисленных направлениях числа Фибоначчи и золотая пропорция выступают в роли фундаментального начала указан­ных выше направлений в теории измерения и кодирования, затрагивающих основы цифровой техники. За счет заложенной в них избыточности коды с иррациональными основаниями позволяют решить ряд задач, связанных с контролем измери­тельных и арифметических преобразований информации в циф­ровых системах.

5.9.1. Золотая пропорция

Рассмотрим следующую геометрическую задачу. На отрезке АВ требуется найти такую точку С на рис. 5.9.1, чтобы

. (5.9.1)

Рис. 5.9.1. Золотое сечение

Обозначим это отношение через х. Так как АВ = АС + СВ, то , откуда следует уравнение для нахождения искомого отношения:

(5.9.2)

Уравнение (5.9.2) имеет два корня: и . Положительный корень этого уравнения называют золотой пропорцией, а деление отрезка АВ в отношении (5.9.1) – золотым сечением. Золотая пропорция обладает следующими фундамен­тальными свойствами:

; (5.9.3)

, (5.9.4)

где п – целое число.

Рассмотрим геометрическую прогрессию, образованную сте­пенями «золотой» пропорции, т.е.

(5.9.5)

Имея в виду (5.9.4), видим, что прогрессия (5.9.5) обладает тем свойством, что каждый член равен сумме двух по­следующих.

Задача о золотом сечении допускает следующее обобщение. Зададимся целым неотрицательным числом р и разделим отрезок АВ точкой С на две неравные части в такой пропорции, чтобы отношение большей части к меньшей СВ/АС равнялось p -й степени отношения всего отрезка к большей части его (рис. 5.9.2), т.е.

. (5.9.6)

Так как АВ = АС + СВ, то , откуда следует искомое отношение:

(5.9.7)

Обозначим через α положительный корень уравнения (5.9.7). Это уравнение задает бесконечное число пропорциональных делений отрезка типа (5.9.6), так как каждому р соответствует свой вариант деления. Рассмотрим частные случаи.

При р = 0 деление отрезка (5.9.6) задается с помощью следующих соотношений: , что соответст­вует классической дихотомии, т.е. α ₀ = 2.

При р = 1 деление отрезка (5.9.6) сводится к " золотому" сечению, так как , а положительный корень уравнения (5.9.7) совпадает с «золотой» пропорцией, т.е. .

С учетом этого обстоятельства положительный корень уравнения (5.9.7) назван золотой р -пропорцией.

На рис. 5.9.2 приведены приближенные значения золотой р -пропорции, соответствующие начальным значениям р.

Рис. 5.9.2. Золотое p -сечение:

; ; ; ;

Из (5.9.7) следует фундаментальное свойство золотой р -про­порции, справедливое для любого целого п.

(5.9.8)

Заметим, что это уравнение задает отношение эквивалент­ности, т.е. отношение подобия золотой р -пропорции. Индекс р определяет число классов эквивалентности; внутри каждого класса эквивалентности имеем п подобных корней.

5.9.2. Числа Фибоначчи

В математике под числами Фибоначчи обычно понимают ряд чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... (5.9.9)

Следует обратить внимание на следующие свойства чисел Фибоначчи:

1. В ряду (5.9.9) после двух нечетных чисел следует одно четное, т.е. остатки от деления чисел Фибоначчи на два представляют собой периодическую последовательность:

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,...;

2. Предел отношения соседних чисел Фибоначчи стремится к золотой пропорции

; (5.9.10)

3. Сумма первых п членов в ряде (5.9.9) при будет

(5.9.11)

Числа Фибоначчи обобщаются в рамках принципа отноше­ния эквивалентности примерно так же, как и золотая про­порция. Предел отношения соседних p -чисел Фибоначчи совпадает с золотой p -пропорцией

(5.9.12)

и при достаточно больших п отношение соседних p -чисел Фибоначчи равно золотой p -пропорции:

(5.9.13)

5.9.3. p -код Фибоначчи

Фибоначчиеву систему счисления позво­ляют построить p -числа Фибоначчи. Такая возможность осно­вана на представлении любого натурального числа N в виде

, (5.9.14)

где – двоичная цифра в l-м разряде кода (5.9.14); – вес l -го разряда (l = 0, 1, 2,..., n -1).