Устранение влияния временного дрейфа

Планирование со смешиванием иногда применяют в тех случаях, когда необходимо, устранить влияние неуправляемых временных изменений некоторых влияющих факторов, называемое временным дрейфом.

При постановке большого количества опытов, требующих длительного времени, приходится опасаться нежелательных изменений исходных условий, которые трудно контролировать (например некоторых характеристик оборудования) Влияние этого временного дрейфа на параметры математического описания процесса можно практически устранить, разбивая серию опытов на отдельные блоки так, чтобы эффект от временного дрейфа оказался смешанным с произведениями факторов, для которых коэффициенты регрессии достаточно малы.

Пусть, необходимо устранить влияние временного дрейфа на параметры уравнения регрессии, получаемого в результате полного трехфакторного эксперимента. С этой целью разобьем эксперимент на два блока и введем новую независимую переменную X _д, характеризующую дрейф. Положим X _д = Х ₁ Х ₂ Х ₃.

В один из блоков отберем опыты, для которых X _д = +1, а в другой – для которых X _д = –1. Формально это планирование, приведенное в табл. 4.8.1, можно рассматривать как эксперимент типа 2^4–1 с генерирующим соотношением X _д = Х ₁ Х ₂ Х ₃.

Исходя из матрицы планирования, считаем, что в первом блоке все результаты опытов вследствие временного дрейфа завышены на , а во втором – занижены на ту же величину. Если уравнение регрессии ищется в виде

Таблица 4.8.1

Планирование в условиях временного дрейфа

Номер блока	x 1	x 2	x 3	x д = x 1 x 2 x 3	Функция отклика
	–1	–1	+1	+1
	+1	–1	–1	+1
	–1	+1	–1	+1
	+1	+1	+1	+1
	–1	–1	–1	–1
	+1	–1	+1	–1
	–1	+1	+1	–1
	+1	+1	–1	–1

то коэффициенты регрессии будут являться следующими оценками:

Рассчитаем, например, коэффициенты a ₁ и a ₁₂₃:

Следовательно, все коэффициенты регрессии, кроме a ₁₂₃, не содержат погрешностей, обусловленных временным дрейфом.

4.9. Проведение факторного эксперимента и обработка

его результатов

После того, как составлена матрица планирования эксперимента, приступают к его проведению. При этом необходимо учесть, что реальный эксперимент сопровождается погрешностями измерений. Поэтому как бы оптимально ни был спланирован эксперимент, если не учи­тывать погрешности эксперимента и тщательно не проду­мать процедуру обработки результатов эксперимента, ожидать высокой эффективности от планирования экспери­мента нельзя.

Каждый эксперимент содержит элемент неопределенно­сти вследствие ограниченности обрабатываемых данных. Постановка повторных или параллельных опытов не дает полностью совпадающих результатов, потому что всегда существует погрешность опыта (погрешность воспроизво­димости). Эту погрешность можно оценить по параллель­ным опытам, для чего опыт воспроизводится по возможно­сти в одинаковых условиях несколько раз, а затем берется среднее арифметическое всех результатов

(4.9.1)

где п – число параллельных опытов.

Отклонение результатов опыта от среднего арифметиче­ского свидетельствует об изменчивости значений результатов повторных опытов. Для характеристики этих откло­нений используют оценку дисперсии (§ 3.3):

(4.9.2)

и среднеквадратическое отклонение .

Важно исключить из экспериментальных данных результаты, содержащие грубые погрешности, для чего можно воспользоваться правилами, изложенными в § 3.7.

Матрица планирования состоит из серии опытов, и оцен­ка дисперсии всего эксперимента получается в результате усреднения оценок дисперсий всех опытов. По терминоло­гии, принятой в планировании эксперимента, речь идет об оценке дисперсии выходной величины s²(у)или, что то же самое, дисперсии воспроизводимости уже не одного опыта, а эксперимента в целом. Это значение подсчитыва­ется по формуле

(4.9.3)

где N – число различных опытов; n – число повторных опытов.

Оценку дисперсии воспроизводимости проще всего рас­считывать, когда соблюдается равенство числа повторных опытов во всех экспериментальных точках. На практике часто приходится сталкиваться со случаями, когда число повторных опытов различно. Это происходит вследствие отбрасывания результатов, содержащих грубые погрешно­сти.

Тогда при усреднении оценок дисперсий приходится пользоваться средним взвешенным значением, взятым с учетом числа степеней свободы (§ 3.6):

(4.9.4)

где – оценка дисперсии i -гo опыта; – число степеней свободы в i -м опыте, равное числу параллельных опытов n_i минус 1.

Число степеней свободы средней дисперсии принимается равным сумме чисел степеней свободы .

Приведенными формулами для расчета оценки дисперсий можно пользоваться только в том случае, когда дисперсии однородны – среди всех сумми­руемых дисперсий нет таких, которые значительно превы­шали бы все остальные.

Наиболее часто для проверки гипотезы об однородности дисперсии используется критерий Фишера, предназна­ченный для сравнения двух дисперсий по их оценкам (F -критерий). Находят отношение большей оценки дисперсии к меньшей и полученное значение сравнивают с табличным значением для тех же условий. Если полученное значение больше табличного, это означает, что дисперсии значимо отличаются друг от друга, т.е. они неоднородны.

Производить расчет погрешности воспроизводимости и вычислять коэффициенты модели можно только после того, как установлено, что дисперсии однородны.

При обработке результатов факторного эксперимента необходимо учитывать влияние систематических погрешностей, вызванных изменением внешних условий (температуры, давления и т.п.). Для уменьшения этого влияния рекомен­дуется воспользоваться случайной последовательностью при постановке опы­тов, предусмотренных матрицей планирования, или рандо­мизацией опытов во времени.

В табл. 4.9.1 приведена матрица 2³, полученная из матрицы 2² обычным способом: 2 раза повторен план 2², причем в первых четырех опытах x ₃имеет верхнее значе­ние, а в последних четырех нижнее.

Предположим, что экспериментатор может поставить в пер­вый и во второй дни по четыре опыта. Ставя опыты подряд, разбиваем матрицу на две части или на два блока: в пер­вый блок входят опыты 1¸ 4, а во второй – 5¸ 8. Если внеш­ние условия первого дня каким-то образом отличались от условий второго дня, то это приводит к возник­новению некоторой систематической погрешности e. Пред­положим, что эта погрешность сопровождает первые четыре опыта.

Таблица 4.9.1

Номер опыта				у
	+1	+1	+1
	-1	-1	+1
	+1	-1	+1
	-1	+1	+1
	+1	+1	-1
	-1	-1	-1
	+1	-1	-1
	-1	+1	-1

При таком проведении эксперимента подсчет коэффи­циента а ₃ дает следующий результат:

(4.9.5)

где – истинное значение коэффициента при a ₃.

Погрешности в определении коэффициентов а ₁и а ₂ не будет, но погрешность опре­деления а₃ максимальна и равна . Для уменьшения этой погрешности последовательности проведения опытов необ­ходимо придать случайный характер.

После проведения эксперимента осуществляется обра­ботка его результатов. Для вычисления коэффициентов модели, или, как их называют, коэффициентов регрессии, используется метод наименьших квадратов.

После вычисления коэффициентов модели проверяют ее пригодность. Такая провер­ка называется проверкой адекватности модели. Для осу­ществления ее сначала вычисляется оценка дисперсии адекватности:

(4.9.6)

где f – число степеней свобо­ды, равное числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов модели, минус число определяемых коэффициентов; y_i – реальное значение выходной величины, получен­ное в результате i -гоопыта; – значение выходной ве­личины, предсказанное в i -м опыте по полученной модели. Для получения необходимо подставить в модель зна­чения факторов, предусмотренные матрицей планирования в i -м опыте, и вычислить значение по значениям факто­ров и коэффициентов модели.

Для проверки гипотезы об адекватности используется F -критерий:

(4.9.7)

где – оценка дисперсии воспроизводимости со сво­им числом степеней свободы.

Если рассчитанное значение F не превышает таблично­го, взятого при выбранном уровне значимости и данных чис­лах степеней свободы, то модель можно считать адекват­ной. В противном случае исходную гипотезу о виде модели отвергают, уточ­няют модель (включают в нее новые члены) и вновь опреде­ляют коэффициенты модели и проверяют гипотезу об аде­кватности.

После получения модели, проверки гипотезы об адек­ватности необходимо проверить значимость отдельных ко­эффициентов регрессии. Проверка значимости коэффици­ентов модели проводится по t -распределению Стьюдента.

Для этого надо найти оценки дисперсии коэф­фициентов регрессионной модели:

(4.9.8)

Далее вычисляют отношение

(4.9.9)

Вычисленное значение сравнивается с табличным при заданном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы. Таким образом, проводится проверка значимости всех коэффициентов регрессии, и модель уточ­няется путем исключения незначимых факторов или эф­фектов взаимодействия.

Рассмотрим вопрос об эффектив­ности планирования эксперимента. В качест­ве примера проанализируем планирование трехфакторного эксперимента, поставленного для оценки значений коэффициентов линей­ной модели:

(4.9.10)

Составим матрицу планирования эксперимен­та. Эта матрица приведена в табл. 4.9.2.

Таблица 4.9.2

Номер опыта					у
	+1	+1	-1	-1
	+1	-1	+1	-1
	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	+1	+1

План, приведенный в табл. 4.9.2, обладает следующими свойствами:

(4.9.11)

Коэффициенты модели определяются по формуле

(4.9.12)

а оценки их дисперсий

(4.9.13)

В данном примере k = 4, N = 4.

Из этих формул следует, что коэффициенты модели оцениваются по всем N опытам, и соответственно в N раз уменьшается оценка их дисперсии по сравнению с оценкой дисперсии единичного опыта. Последнее обстоятельство является весьма примечательным. Предположим, что имеется последовательность N независимых наблюдений – у ₁, y ₂, …, y_N. Тогда среднее арифметическое этого ряда наблюдений будет иметь оценку дисперсии .В рассмотренном выше случае все N коэффициентов оцениваются по N опытам с оценкой дисперсии . Отсюда становится очевидным, что при выбранных интервалах варьирования и числа опытов невозможно получить луч­шие по точности оценки коэффициентов модели.

Искомые четыре коэффициента модели можно было бы оценить и с помощью традиционного однофакторного экс­перимента. В данном случае необходимо поступить следую­щим образом: один эксперимент поставить так, чтобы все независимые переменные были на нижнем уровне, а даль­ше следовали бы три опыта, в каждом из которых одна переменная находилась на верхнем уровне, а две другие на нижнем. Было бы опять поставлено всего четыре опы­та. План такого эксперимента задается матрицей, пред­ставленной табл. 4.9.3.

Каждый коэффициент модели определяется в этом слу­чае только по двум опытам как тангенс угла наклона пря­мой, проведенной через точки, абсциссы которых равны -1 и + 1. Тогда

(4.9.14)

Таблица 4.9.3

Номер опыта					у
	+1	-1	-1	-1
	+1	+1	-1	-1
	+1	-1	+1	-1
	+1	-1	-1	+1

В этом случае при трех независимых переменных для многофакторного эксперимента выигрыш в размере дис­персии получается в 2 раза. Если бы целью было опреде­ление 15 коэффициентов модели, то, поставив эксперимент в соответствии с матрицей планирования, составленной на основе теории планирования эксперимента, выигрыш полу­чили бы в 8 раз и т.д.