![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
РАЗДЕЛ 4 4 страница
Значение коэффициента соответствует складу данного фактора в размер выходного параметра при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний. Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми – незначимыми. Чтобы установить, значим коэффициент или нет, необходимо, прежде всего, вычислить оценку дисперсии, с которой он определяется:
Следует отметить, что с помощью полного факторного эксперимента все коэффициенты определяются с одинаковой погрешностью. Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполнено условие
где В противном случае коэффициент регрессии незначим, и соответствующий член можно исключить из уравнения. Получив уравнение регрессии, следует проверить его адекватность, т.е. способность достаточно хорошо описывать поверхность отклика. Эту проверку осуществляют с помощью критерия Фишера, который представляет собой следующее отношение:
где В числителе дроби (4.6.10) находится большая, а в знаменателе – меньшая из указанных оценок дисперсий. Планируя эксперимент на первом этапе, обычно стремятся получить линейную модель. Однако бывает так, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается нелинейной моделью. Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор, т.е. существует эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет оценить эффект взаимодействия. Для этого необходимо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же как с вектор-столбцом любого фактора. Для полного факторного эксперимента 22 матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия представлена в табл. 4.6.3.
Таблица 4.6.3
При добавлении столбцов эффектов взаимодействий все рассмотренные свойства матриц планирования сохраняются. С учетом эффекта взаимодействия математическая модель при двух факторах запишется следующим образом:
Коэффициент
Столбцы х 1и x 2задают планирование – по ним непосредственно определяются условия опытов, а столбцы x 0и х 1 х 2 служат только для расчетов. С ростом числа факторов число возможных взаимодействий быстро увеличивается. Выше был рассмотрен самый простой случай – когда имелось одно взаимодействие. Рассмотрим теперь полный факторный эксперимент 23. Матрица планирования эксперимента 23 с учетом всех возможных взаимодействий приведена в табл. 4.6.4. Эффект взаимодействия Полное число всех возможных коэффициентов, включая a 0, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента. Ортогональность матрицы планирования позволяет получать независимые друг от друга оценки коэффициентов. Это означает, что значение любого коэффициента не зависит от того, какие значения имеют другие коэффициенты. Таблица 4.6.4
Эти утверждения справедливы лишь в том случае, если модель включает только линейные эффекты и эффекты взаимодействия. В реальных условиях существенными могут оказаться коэффициенты при квадратах факторов, их кубах и т.д. Для случая существенных квадратичных членов в двухфакторном эксперименте модель можно записать следующим образом:
Построение вектор-столбцов для
где a 0 – вычисленный коэффициент, а греческими буквами обозначены неизвестные истинные значения свободного члена b0 и квадратичных коэффициентов По отношению к квадратичной модели для двух факторов получается следующая система смешивания:
Очевидно, что оценки всех коэффициентов, кроме a 0, не смешаны. Таким образом, полный факторный эксперимент при варьировании факторов на двух уровнях позволяет оценить линейные эффекты и эффекты взаимодействия. Пример 4.6.1. Рассмотрим процесс, в котором выход продукта реакции у (%) зависит от температуры реакционной смеси х 1 (°С) и концентрации реагента х 2 (%). Требуется с помощью полного факторного эксперимента найти математическое описание этого процесса в окрестности точки факторного пространства с координатами х 01 = 50 °С и х 02 = 25%. Проведено по 2 параллельных опыта при одинаковых условиях. Решение. Математическое описание рассматриваемого процесса будем искать в виде уравнения регрессии
где кодированные переменные связаны с температурой и концентрацией следующими соотношениями:
При проведении полного факторного эксперимента зададимся условиями, приведенными в табл. 4.6.1. Таблица 4.6.1 Основные характеристики плана экспериментов
Матрица планирования и результаты полного факторного эксперимента представлены в табл. 4.6.2. На основании результатов полного факторного эксперимента рассчитаем коэффициенты регрессии, пользуясь формулами (4.6.2) ÷ (4.6.4):
Таблица 4.6.2 Полный двухфакторный эксперимент
Далее определяем оценку дисперсии среднего значения
где Оценки однородных дисперсий нескольких серий параллельных опытов можно усреднить и найти величину
называемую оценкой дисперсии воспроизводимости. С ней связано число степеней свободы На основании табл. 4.6.2:
Отсюда согласно (4.6.13) о ценку дисперсии среднего значения:
С ней также связано число степеней свободы Если при проведении эксперимента опыты дублируют и пользуются средними значениями функции отклика у, то при обработке экспериментальных данных следует использовать Примем также, что с этой величиной связаны 4 степени свободы. Ошибку в определении коэффициентов регрессии вычислим по формуле
Пользуясь Приложением П.1 «Процентные точки распределения Стьюдента», находим, что для доверительной вероятности Р = 0, 95 (
Для оценки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим следующие соотношения:
Отсюда видно, что все коэффициенты регрессии значимы. Следовательно, искомое уравнение имеет вид:
Для проверки адекватности уравнения регрессии найдем расчетные значения функции отклика:
Вычислим оценку дисперсии адекватности (4.4.7):
где N – число опытов; B – число коэффициентов регрессии искомой модели.
С ней связано число степеней свободы f = N – В = 4 – 3= 1. Расчетное значение критерия Фишера находим по формуле (4.4.6):
Оно не превосходит значения, приведенного в Приложении П.4. «Значения
4.7. Дробный факторный эксперимент
С увеличением количества факторов резко возрастает количество опытов полного факторного эксперимента. Однако для нахождения коэффициентов регрессии не всегда требуется много опытов. В таких случаях можно уменьшить – объем экспериментальных работ, воспользовавшись методом дробных реплик. Очевидно, что при этом матрица планирования должна сохранить свои основные четыре свойства. Рассматриваемый метод заключается в том, что для нахождения математического описания процесса используется определенная часть полного факторного эксперимента: 1/2, 1/4 и т.д. Эти системы опытов называются дробными репликами. Рассмотрим полный факторный эксперимент 22. Матрица планирования приведена в табл. 4.7.1.
Таблица 4.7.1
Пользуясь таким планированием, можно вычислить, как было показано выше, четыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде модели
Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента: Оценки смешиваются в связи с тем, что вектор-столбец Таким образом, получим:
В связи с тем, что рассматривается линейная модель, то все парные взаимодействия незначимы и можно полагать, что оценки Таким образом, вместо восьми опытов для изучения трех факторов оказывается достаточным поставить только четыре опыта. При этом матрица планирования не теряет своих основных свойств (ортогональности, ротатабельности и т.п.). Изложенное правило можно сформулировать так: чтобы сократить число опытов, новому фактору необходимо присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значения нового фактора в условиях опытов определяются знаками этого столбца. Расчет коэффициентов регрессии, проверка значимости коэффициентов и адекватности математического описания в данном случае производятся так же, как и при полном факторном эксперименте. Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, экспериментатор пользуется половиной полного факторного эксперимента 23, или «полурепликой». Если х 3приравнять к
При реализации обеих полуреплик можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия, как и в полном факторном эксперименте 23. Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент 23. Матрица из восьми опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента 24, а для пятифакторного планирования – четвертьрепликой от 25. В последнем случае уже два линейных эффекта приравниваются к эффектам взаимодействия. Для обозначения дробных реплик, в которых С линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2 k – c. Так, полуреплика от 26 запишется в виде 26 – 1, а четвертьреплика от 25 – 25 – 2 (табл. 4.7.2).
Таблица 4.7.2
В реальных условиях экспериментатор может не иметь твердой уверенности в отсутствии того или иного взаимодействия факторов. В этом случае необходимо знать, когда и какие эффекты определяются совместно, т.е. определить разрешающую способность дробных реплик. Для этого используют понятия «определяющие контрасты» и «генерирующие соотношения». При построении полуреплик 23 – 1 существуют всего две возможности: приравнять х 3 к х 1 х 2или к - х 1 х 2 (минус х 1 х 2). Поэтому есть только две полуреплики 23 – 1 (табл. 4.7.3).
Таблица 4.7.3
Для произведения трех столбцов матрицы I выполняется соотношение
|