![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
РАЗДЕЛ 4 3 страница
Если число опытов в каждой точке (т.е. при каждом сочетании значений факторов) больше единицы и различно, то
где nj – число параллельных (повторных) опытов в j -й строке матрицы; Следующий этап анализа состоит в проверке значимости коэффициентов. Его можно осуществлять двумя равноценными способами: проверкой по t -критерию Стьюдента или построением доверительного интервала. Если опытные данные получены в результате полного факторного эксперимента или регулярных дробных реплик, то доверительные интервалы для всех коэффициентов (в том числе и эффектов взаимодействия) равны друг другу. На этом этапе найдем сначала дисперсию коэффициента регрессии s 2 (aj)по формуле:
Дисперсии всех коэффициентов равны друг другу, так как они зависят только от погрешности измерений и числа опытов. Доверительный интервал для j -го коэффициента определяется по формуле
Здесь Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала, т.е. если его среднее влияние на у больше, чем разбросы за счет неточности модели и «мешающих» факторов. Очень часто в качестве модели используют степенной полином вида
где а 1, а 2,..., ат – параметры модели. Такая модель при правильном выборе степени полинома позволяет с любой необходимой точностью аппроксимировать любую истинную регрессионную зависимость. Достоинством модели является также то, что функция линейна относительно неизвестных параметров a 0, а 1, а 2,..., аm, что упрощает обработку наблюдений. В данном случае вопрос выбора вида модели сводится к выбору порядка m полинома. После выбора вида регрессионной модели вычисляют ее параметры. Для модели (4.4.12) необходимо получить оценки параметров a 0, а 1, а 2,..., аm, что можно сделать на основе метода, рассмотренного в § 3.5. Предположим, что yi (i = 1, 2,..., п) – это значения выходного параметра объекта, определяемые регрессионной зависимостью от xi, а li – соответствующие результаты измерений выходного параметра. Разность Здесь и далее считаем, что отклонение Для регрессионной модели (4.4.12) запишем систему нормальных уравнений:
Преобразовав (4.4.13) к стандартному виду, получим:
В результате решения системы уравнений (4.4.15), линейных относительно искомых параметров a 0, а 1, а 2,..., аm, получим их оценки
где
Бывает так, что модель нелинейной регрессионной зависимости целесообразно искать в виде функции, отличной от степенного полинома (4.4.12), например, в виде
который содержит два неизвестных параметра а и b. Применение полинома (4.4.12) при той же точности модели может потребовать более высокого порядка полинома, что повышает трудоемкость вычислений. Однако использование таких нелинейных (относительно параметров) функций осложняет вычисление их параметров. В некоторых частных случаях решение задачи упрощается, если искусственно преобразовать нелинейную модель в линейную. Например, для функции (4.3.16) необходимо сделать замену переменной вида
где При этом необходимо соответственно преобразовать исходные экспериментальные данные – вычислить совокупность значений z. Затем методом наименьших квадратов находят оценки
4.5. Активный эксперимент
В отличие от пассивного эксперимента планирование активного эксперимента предполагает воздействие на ход процесса и возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес. Установление каждого фактора на некоторый уровень определяет одно из вероятных состояний объекта. Если перебрать все допустимые наборы уровней факторов, то получим полное множество различных состояний данного объекта, что и определит число возможных различных опытов. Число различных состояний объекта определяется соотношением bk, где b – число уровней факторов; k – число факторов. Реальные объекты обладают большой сложностью. Так, система с пятью факторами на пяти уровнях имеет 3125 состояний. В этих условиях приходится отказываться от таких экспериментов, которые включают в себя все возможные опыты. Тогда возникает вопрос: какие опыты и сколько надо включать в эксперимент? Для решения этой задачи используется планирование активного эксперимента. При планировании активного эксперимента в рассмотрение необходимо включать все существенные факторы, которые могут влиять на объект исследования. Если какой-либо существенный фактор окажется неучтенным, то это может привести к нежелательным последствиям. Так, если неучтенный фактор произвольно изменялся, принимая случайные значения, которые не контролировались в процессе эксперимента, то это приведет к существенному увеличению погрешности опыта. Вместе с тем увеличение числа включенных в рассмотрение факторов приводит к значительному возрастанию числа опытов по показательной функции. При большом числе факторов следует обратиться к методам отсеивания несущественных факторов. Каждый фактор имеет область определения. Будем считать фактор заданным, если вместе с его названием указана и область определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор. Ясно, что совокупность значений фактора, которая используется в эксперименте, является подмножеством из множеств значений, образующих область определения. Область определения может быть непрерывной или дискретной. В реальных задачах планирования эксперимента используются дискретные области определения. Так, для факторов с непрерывной областью определения, таких, как температура, напряжение питания и т.п., всегда выбираются дискретные множества уровней. В практических задачах области определения факторов, как правило, ограничены. Ограничения могут носить принципиальный либо технический характер. Факторы делятся на количественные и качественные. К качественным факторам относятся, например, различные вещества, технологические способы, аппараты, исполнители и т.п. Хотя качественным факторам не соответствует числовая шкала в том смысле, как это понимается для количественных факторов, однако можно построить условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда, т.е. производит кодирование. Пусть, например, при изучении производства резисторов надо установить влияние положения тигеля в печи. Можно разделить печь на квадраты и считать номера квадратов уровнями качественного фактора, определяющего положение тигля. Также можно ввести два количественных фактора: координаты тигля по длине и ширине печи. При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может его поддерживать на постоянном уровне в течение всего опыта. В этом состоит особенность активного эксперимента. Чтобы точно определить фактор, нужно указать последовательность действий, с помощью которых устанавливаются его конкретные значения. Такое определение фактора называется операциональным. Так, если фактором является давление в некотором аппарате, то необходимо указать, в какой точке и с помощью какого прибора оно определяется и как устанавливается. Введение операционального определения обеспечивает однозначное понимание фактора. При планировании эксперимента обычно одновременно изменяют несколько факторов. Поэтому к совокупности факторов предъявляются следующие требования. Прежде всего, выдвигается требование совместимости. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны. Несовместимость факторов может наблюдаться на границах областей их определения. Исключить ее можно сокращением областей. Положение усложняется, если несовместимость проявляется внутри области определения. Одно из возможных решений в этом случае – разбиение на подобласти и планирование эксперимента для каждой из них. При планировании эксперимента важна независимость факторов, т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Выбор факторов является очень ответственным этапом при подготовке и планировании эксперимента. От удачного выбора факторов во многом зависит успешное решение поставленной задачи. Планирование эксперимента предполагает одновременное изменение возможно большего числа факторов, т.е. проведение так называемого многофакторного эксперимента, при планировании которого возникают типичные задачи математической статистики: выбор оптимальной стратегии эксперимента в условиях неопределенности, обработка результатов измерений, проверка гипотез и принятие решений. Так же, как и при пассивном эксперименте, важным этапом планирования активного эксперимента является выбор математической модели объекта. Чаще всего используют полиномиальные модели, достоинством которых является универсальность и линейность относительно искомых параметров. Полином первого порядка выглядит следующим образом:
второго порядка –
Полином второго порядка содержит свободный член Прежде, чем приступить к планированию, необходимо выбрать локальную область факторного пространства. Это важный этап принятия неформализованных решений, предшествующих построению плана первой серии эксперимента. При выборе области эксперимента, прежде всего, надо оценить границы областей определения факторов. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов. Первый тип – принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор – температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль. Второй тип – ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями, например со стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонентов, временем ведения процесса. Третий тип ограничений определяется конкретными условиями проведения процесса, например существующей аппаратурой, технологией, организацией. Далее на основании априорной информации необходимо найти в области определения фактора локальную подобласть для планирования эксперимента. Процедура выбора этой подобласти включает в себя два этапа: выбор основного уровня и выбор интервалов варьирования. Наилучшим условиям, определенным из анализа априорной информации, соответствует комбинация или несколько комбинаций уровней факторов. Каждая из них является точкой в многомерном факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее основным (нулевым) уровнем. В качестве априорной информации можно использовать сведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов, о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения выходной величины. Обычно такая информация бывает ориентировочной и, в некоторых случаях, просто ошибочной, но это единственная основа, на которой можно начинать планировать эксперимент. В ходе эксперимента ее часто приходится корректировать. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня. После того, как нулевой уровень выбран, переходим к следующему шагу – выбору интервалов варьирования. Затем для каждого фактора необходимо выбрать два крайних уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте. Пусть в качестве фактора в неком эксперименте рассматривают температуру. Пусть основной уровень выбран и равен 100°С. Это значение изображается точкой. Тогда два интересующих нас уровня можно изобразить двумя точками, симметричными относительно первой. Один из этих уровней называется верхним, а второй – нижним. Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению фактора, а для качественных факторов не важно какой уровень фактора будет принят за верхний, а какой за нижний. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний. Другими словами, интервал варьирования – это расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнями. Таким образом, задача выбора уровней сводится к задаче выбора интервала варьирования. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний –1, а основной 0. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью преобразования
где Для качественных факторов, имеющих два уровня, один обозначается +1, а другой – -1, порядок уровней не имеет значения. Пусть процесс определяется четырьмя факторами. Основной уровень и интервалы варьирования выбраны следующим образом.
Рассмотрим первый фактор. В соответствии с (4.5.3) перейдем от натуральных значений фактора к кодированным:
На выбор интервалов варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той погрешности, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. В противном случае верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. Вместе с тем интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровень оказался за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется с помощью интуитивных решений.
4.6. Полный факторный эксперимент
Метод полного факторного эксперимента дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности выбранной точки с координатами Рассмотрим планирование факторного эксперимента на примере линейной полиномиальной математической модели, которая используется наиболее часто. В этом случае достаточно использовать только два уровня факторов. Если число факторов известно, то можно найти число опытов, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов: N = 2 k, где N – число опытов; k – число факторов; 2– число уровней. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеется полный факторный эксперимент 2 k. Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента. Матрица планирования для двух факторов приведена в табл. 4.6.1. Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку – вектор-строкой.
Таблица 4.6.1
Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко найти прямым перебором, то с ростом числа факторов возникает необходимость в разработке правил построения матриц. На практике обычно используются три приема, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности. Первый прием. При добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Отсюда вытекает следующий прием: записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня. При переходе от эксперимента 22 к эксперименту 23 (табл. 4.6.2) это выглядит следующим образом. Этот прием распространяется на построение матриц любой размерности.
Таблица 4.6.2
Второй прием. Введем правило перемножения столбцов матрицы. При построчном перемножении двух столбцов произведение единиц с одноименными знаками дает +1, а с разноименными – -1. Воспользовавшись этим правилом, для рассматриваемого случая получим вектор-столбец Третий прием. Он основан на правиле чередования знаков. В первом столбце знаки меняются поочередно, во втором – чередуются через два, в третьем – через четыре, в четвертом – через восемь и т.д. по степеням двойки. Матрица планирования эксперимента обладает следующими свойствами: – симметричность относительно центра эксперимента – алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или – условие нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или – ортогональность матрицы планирования – сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или – ротатабельность – точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказаний значений выходного параметра на основании математической модели одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления. Таким образом, правильно составленная матрица планирования эксперимента должна обладать всеми четырьмя перечисленными выше свойствами. Составив матрицу планирования эксперимента и проведя N опытов, можно перейти к оценке коэффициентов линейной модели. Можно утверждать, что эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная модель Эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет получить только оценки для коэффициентов модели
Подставив в уравнение модели известные значения
Этой формулой можно воспользоваться для для вычисления коэффициентов а 1и а 2:
Благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов не представляет трудности. Для вычисления коэффициента а 1используется вектор-столбец x 1, а для вычисления а 2 – столбец x 2. Для вычисления коэффициента а 0 найдем среднее значение равное
где
В силу свойств симметрии матрицы
j во всех приведенных выше формулах принимает значения от 0 до k. Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численное значение коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора выходная величина увеличивается, а если минус – то уменьшается.
|