![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Исключение резко отклоняющихся значений
При обработке результатов измерений очень часто возникает необходимость обнаружить грубые погрешности и исключить из экспериментальных данных соответствующие результаты. Указанная задача также требует проверки гипотез и решается статистическими методами. Будем считать, что результаты измерений xi имеют нормальное распределение. Чтобы проверить возможность отбросить сомнительный результат х с(х с– наибольший или наименьший из результатов), вычислим величину
где Если все xi распределены нормально, то распределение величины
Таким образом, проверяется гипотеза о том, что результат х сне содержит грубой погрешности. Условием принятия этой гипотезы является Задаваясь уровнем значимости a и учитывая число измерений n, по таблице «Процентные точки
Пример 3.7.3. При условиях, заданных в примере 3.7.1, необходимо проверить гипотезу, состоящую в том, что наибольший результат измерений x с = 7, 8 не содержит грубой погрешности. Решение. Вычислим
Принимаем уровень значимости a = 0, 05. Для n = 10 по таблице «Процентные точки
3.8. Построение эмпирических распределений
При исследовании случайных процессов необходимо знать не только числовые характеристики случайных величин, но законы их распределения. Поэтому необходимо знать закон распределения случайной величины по статистическим данным, полученным в эксперименте. Пусть в результате эксперимента получено п значений случайной величины х 1, х 2,..., хп (статистический ряд). Под статистической функцией распределения случайной величины X понимают частоту события X < х в данном статистическом интервале.
Статистическая функция распределения любой случайной величины является прерывной ступенчатой функцией, скачки которой соответствуют наблюдаемым значениям случайной величины (рис. 3.8.1); они равны частотам появления этих значений
Рис. 3.8.1. Статистическая функция распределения
Кроме статистического интегрального закона распределения вводят понятие статистического дифференциального закона распределения, под которым понимают зависимость плотности распределения наблюдаемых значений случайной величины
где Для определения законов распределения случайной величины X проводят эксперимент, получают n значения случайной величины, по ним строят статистические законы распределения. При n ® ¥ эмпирическая функция распределения приближается к истинной функции распределения. В реальности число опытов ограничено. Поэтому необходимо определять закон распределения случайной величины по ограниченному числу опытов. При обработке ограниченного по объему статистического материала приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения, выражающую лишь существенные черты статистического материала, а не случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных. Такая задача подбора теоретической кривой распределения называется задачей выравнивания статистических рядов.
Рис. 3.8.2. Гистограмма статистического дифференциального закона распределения
Принципиальный вид теоретической кривой выбирается либо заранее из соображений, связанных с существом задачи, либо исходя из внешнего вида статистического распределения. Аналитическое выражение выбранной кривой распределения зависит от некоторых параметров; задача выравнивания статистического ряда переходит в задачу рационального выбора тех значений параметров, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределениями наилучшее. Любая выбранная аналитическая функция f (х), с помощью которой выравнивается статистическое распределение, должна обладать основными свойствами плотности распределения:
Допустим, что функция f (х), с помощью которой выравнивается данное статистическое распределение, выбрана. В выражение этой функции входит несколько параметров a, b,.... Требуется подобрать эти параметры так, чтобы функция f (х)наилучшим образом описывала данный статистический материал. Наиболее часто для решения этой задачи применяется метод моментов. Согласно ему, параметры а, b,... выбираются так, чтобы несколько важнейших числовых характеристик теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Например, если теоретическая кривая f (х)зависит только от двух параметров а и b, они выбираются так, чтобы математическое ожидание Пример 3.8.1. Пусть в результате эксперимента над случайной величиной X, которая может принимать значения в интервале (-¥; +¥), получен статистический ряд (500 измерений):
Требуется выровнять это распределение при помощи нормальногозакона:
Решение. Определим статистические моменты случайной величины X – математическое ожидание и дисперсию:
где Выберем параметры
т.е.
Используя таблицу «Распределение функции
На рис. 3.8.3 приведены гистограмма и выравнивающая ее кривая распределения.
Рис. 3.8.3. Гистограмма и выравнивающая кривая
Пример 3.8.2. С целью исследования закона распределения ошибки измерения дальности с помощью радиодальномера произведено 400 измерений дальности. Результаты опытов представлены в виде статистического ряда:
Выровнять статистический ряд с помощью закона равномерной плотности. Решение. Закон равномерной плотности выражается формулой:
Выражения для математического ожидания и дисперсии для закона равномерной плотности имеют вид:
Для того чтобы упростить вычисления, перенесем начало отсчета в точку x 0= 60 и примем за представителя каждого разряда его середину. Ряд распределения примет вид:
где Приближенное значение статистического среднего ошибки X' равно:
Второй статистический момент величины X' равен:
откуда статистическая дисперсия:
Переходя к прежнему началу отсчета, получим новое статистическое среднее:
и ту же статистическую дисперсию
Параметры закона равномерной плотности определяются уравнениями:
Решая эти уравнения относительно a и b, имеем:
откуда
На рис. 3.8.4 показаны гистограмма и выравнивающий ее закон равномерной плотности
Рис. 3.8.4. Гистограмма и выравнивающая кривая
На практике часто случается так, что заранее закон теоретический закон распределения не известен. Поэтому рассмотрим вопрос о том, каким выбрать теоретическое распределение по статистическому ряду, когда заранее вид теоретического распределения не известен. В этом случае пользуются системой кривых Пирсона (рис. 3.8.5). Для применения кривых на рис. 3.8.5 необходимо знать значения b1 и b2, которые определяются как
где m2, m3, m4 – второй, третий, четвертый центральные моменты случайной величины соответственно. Однако значения b1 и b2 обычно неизвестны. Поэтому для того, чтобы узнать, будут ли надлежащим образом описаны полученные данные (статистический ряд) одним из показанных на рис. 3.8.5 распределений, необходимо найти выборочные оценки
Рис 3.8.5. Система кривых Пирсона
Для определения
Определив При применении этого метода необходимо следующие ограничения: 1) 2) в общем случае форма распределения не определяется однозначно его нормированными показателями асимметрии (b1) и островершинности (b2).
3.9. Критерии согласия
Допустим, что имеющееся статистическое распределение выровнено с помощью теоретической кривой f (х).Между теоретической кривой и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения. Объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что подобранная кривая плохо выравнивает данное статистическое распределение? Ответ на этот вопрос дают критерии согласия. Их сущность заключается в следующем. На основании имеющегося статистического материала необходимо проверить гипотезу Н, состоящую в том, что случайная величина X подчиняется некоторому определенному закону распределения. Пусть закон задан в виде F (х).Чтобы принять или отбросить гипотезу H, необходимо выбрать некоторую величину W, характеризующую степень расхождения теоретического и статистического распределений. Ее можно выбрать различными способами; например, в качестве W взять сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей Pi от соответствующих частот Пусть величина W выбрана.Онаявляется случайной с законом распределения, зависящим от закона распределения величины X и числа опытов п. Допустим, что этот закон известен. Тогда мера расхождения результатов опыта равна и. Если вычислить вероятность события W ³ u и она окажется малой, то гипотезу Н следует отвергнуть как мало правдоподобную; если же эта вероятность значительна, следует принять, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе Н.
|