![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
РАЗДЕЛ 4 2 страница
затем средние значения по графам
и среднее значение наблюдений
Результаты этих расчетов приведены в табл. 4.3.3. В соответствии с этой таблицей ведутся вычисления средних значений Таблица 4.3.3 Средние значения
После этого с помощью критерия F проверяют гипотезу об отсутствии взаимодействия между исследуемыми факторами. Для этого вычисляют дисперсионное отношение
и сопоставляют с табличным значением Р 1-a(таблица «Значения
Таблица 4.3.4 Вычисление дисперсии
Затем проверяют значимость влияния обоих факторов на исследуемую величину X. Для этого предварительно объединяют оценки дисперсий
Далее вычисляют дисперсионные отношения
которые сопоставляют с табличными значениями
Значение Если влияние обоих факторов значимо, то мы имеем дело с km нормально распределенными генеральными совокупностями с общей дисперсией s2 и разными значениями ai j, оценками которых служат выборочная дисперсия
где При одновременном несоблюдении неравенств (4.3.23) и (4.3.24) подтверждается нулевая гипотеза, т.е. факторы А и B не оказывают значимого влияния на величину X. Тогда остается только одна генеральная совокупность результатов испытаний, распределенная по нормальному закону с параметрами s2 и а. Оценкой генерального среднего а служит общее выборочное среднее по строкам и столбцам X, а оценкой дисперсии – полная (общая) выборочная дисперсия
для При решении практических задач возможны следующие ситуации. – Выполняются неравенства
Границы доверительных интервалов генеральных характеристик для этого случая находят по формулам:
где – Выполняются неравенства
Доверительные интервалы находят по формулам:
для В некоторых случаях при каждой комбинации факторов проводят только один опыт (т.е. п = 1). Тогда все приведенные выражения упрощаются, а Трехфакторный дисперсионный анализ аналогичен по структуре двухфакторному. Схема анализа для трех факторов А, B, C приведена в табл. 4.3.5, которая составлена аналогично табл. 4.3.4. Проверку нулевых гипотез о незначимости влияния взаимодействия отдельных пар факторов и их общего взаимодействия производят с помощью дисперсионных отношений F 4, F 5, F 6, и F 7, в числителе которых дисперсия для соответствующего взаимодействия ( При принятии нулевых гипотез о взаимодействии факторов дисперсии
Затем с помощью отношений дисперсий
Таблица 4.3.5 Схема трехфакторного дисперсионного анализа
4.4. Регрессионный анализ
Регрессионный анализ служит для нахождения по результатам эксперимента связи выходной характеристики устройства (процесса) с факторами, которые влияют на эту характеристику. В качестве модели регрессии используются прямая линия или различные математические кривые: участки параболы, гиперболы, экспоненты и т.п. Экспериментальные данные могут быть аппроксимированы с требуемой точностью функциями различного вида, поэтому выбор вида функции не может быть формализован. Его осуществляет экспериментатор, руководствуясь следующими соображениями: регрессионная модель должна быть простой, удобной для дальнейшего использования и адекватной. Под адекватностью модели понимают ее способность предсказывать с требуемой точностью значения у в некоторой области значений х. Вид модели выбирают таким образом, чтобы при обязательном соблюдении адекватности она была наиболее простой и удобной. На практике во многих случаях приближенно («на глаз») графически проводят линию, описывающую зависимость среднего значения у от х, и, исходя из ее вида, выбирают регрессионную модель. Очень часто зависимость y от x можно принять линейной (линейная модель):
Для упрощения способов нахождения коэффициентов регрессии важно принять следующие допущения: 1. результаты наблюдений у 1, у 2,..., уi,..., уп (где п – число наблюдений над величиной y) представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины; 2. дисперсии D (yi)равны друг другу, или пропорциональны 3. переменные х 1, x 2,..., xk являются независимыми и измеряются с пренебрежимо малой погрешностью по сравнению с величиной s[ yi ]. Методы вычисления коэффициентов регрессии базируются обычно на аппарате матричного исчисления; при этом в наиболее громоздких случаях используются стандартные программы на ЭВМ. Результаты эксперимента записываются в виде матрицы наблюдавшихся значений:
По этим данным можно найти точечные оценки коэффициентов регрессии. Для этого, используя метод наименьших квадратов, составляют n несовместных уравнений:
Из этой системы уравнений можно определить (k + 1) коэффициентов регрессии. Решение делают в матричной форме. Всю систему уравнений записывают в матричной форме в виде ХA = Y, где:
Матрицу
где
Пример 4.4.1. Результаты эксперимента представлены в таблице.
Число факторов k = 2. Количество опытов п = 9. Необходимо провести регрессионный анализ, определив значения коэффициентов регрессии. Решение. Пусть полином для функции у (модель) линейный:
Составим матрицу X и транспонированную матрицу:
Найдем произведение
Для вычисления обратной матрицы (ХТХ)–1 найдем сначала определитель матрицы ХТХ:
D = 9 (11 × 12 – 6 × 6) – 5 (5 × 12 – 4 × 6) + 4 (5 × 6 – 4 × 11) = 628.
Матрицу (ХТХ)–1 составим из определителя D и дополнений матрицы ХТХ:
Далее запишем матрицу Y и найдем произведение ХТY:
Далее
Таким образом: a 0= 10, 65; a 1= 5, 2; a 2= 6, 8, и уравнение регрессии получает следующий конкретный вид:
y = 10, 65 + 5, 2 х 1 + 6, 8 х 2.
Далее необходимо проихвести проверку адекватности полученного уравнения опытным данным. Это необходимо, так как вид зависимости был заранее неизвестен и выбирался наиболее простой. Адекватность проверяют обычно по критерию Фишера F:
Оценку дисперсий
где
Критерий F (таблица П. 4. «Значения
|