Критерий согласия Пирсона

Критерий Пирсона (критерий χ ² -квадрат) – наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. В качестве меры расхож­дения выбрана величина

(3.9.1)

где ; – число значений в i -м разряде; r – число разрядов.

При n ® ¥ закон распределения W приближается к распределению c². Распределение c²зависит от параметра k – числа степеней свободы распределения. Число степеней свободы k равно числу разрядов r минус число независимых условий (связей s), наложенных на частоты . Обычно в качестве условий выбирают следующие:

(3.9.2)

Схема применения критерия c² к оценке согласованности теоре­тического и статистического распределений сводится к следующему:

1) определяют меру расхождения c² по формуле (3.9.1);

2) опре­деляют число степеней свободы k по формуле:

k = r - s; (3.9.3)

3) по k и c² с помощью таблиц для c² находят вероятность того, что величина, имеющая распределение c² с k степенями свободы, прев­зойдет данное значение c².

Если эта вероятность весьма мала (меньше 0, 1), гипотеза H отбрасывается как неправдоподобная. Если вероятность относитель­но велика, гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.

Пример 3.9.1. Проверить согласованность теоретического и статистического распределений для примера 3.8.1 § 3.8.

Решение. Пользуясь теоретическим нормальным законом распределе­ния с параметрами

= 0, 168; s = 1, 448,

находим вероятности попадания в разряды по формуле

где и – границы i -горазряда.

Составляем сравнительную таблицу чисел попаданий в разряды m_i и соответствующих значений nP_i (n = 500).

По формуле (3.9.1) определяем значение меры расхождения

Определяем число степеней свободы как число разрядов минус число наложенных связей s (в данном случае s = 3):

k = r - s = 8-3 = 5.

По таблице «Значения c² в зависимости от k и p» k = 5:

при c² = 3, 000 р = 0, 70;

при c² = 4, 351 р = 0, 50.

Следовательно, искомая вероятность р при c² = 3, 94 приближенно равна 0, 56. Эта вероятность малой не является; поэтому гипотезу о том, что ве­личина X распределена по нормальному закону, можно считать правдоподобной.

Пример 3.9.2. Проверить согласованность теоретического и статистиче­ского распределений для условий примера 3.8.2 § 3.8.

Решение. Значения P_i вычисляем как вероятности попадания на участки (20; 30), (30; 40) и т.д. для случайной величины, распределенной по закону равномерной плотности на отрезке (23, 6; 96, 9). Составляем сравнительную таблицу значений n_i и nP_i (п = 400):

По формуле (3.9.1) определяем значение меры расхождения

Число степеней свободы:

k = r - s = 8-3 = 5.

По таблице «Процентные точки -распределения» при k = 5 имеем:

при c² = 20, 517 р = 0, 001.

Следовательно, наблюденное расхождение между теоретическим и статистическим распределениями могло бы за счет чисто случайных причин появиться лишь с вероятностью р» 0, 001. Так как эта вероятность очень мала, следует признать экспериментальные данные противоречащими гипотезе о том, что величина X распределена по закону равномерной плотности.