![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Аналитический метод решения систем линейных однородных дифференциальных уравнений
Рассматривается система линейных однородных дифференциальных уравнений (СЛДУ) первого порядка
Система (7.14), когда в левой части уравнений стоят производные, а правая часть производных не содержит, называется нормальной. Путем замены переменных (например, В матричной форме записи система (7.14) может быть представлена уравнением:
где
Пример. Привести к нормальной форме записи уравнение вида
Выполним замену переменных Эта система может быть представлена в виде, приемлемом для матричной формы Принимая во внимание, что любая матрица является отражением линейного преобразования, можно заметить, что система ДУ ставит в соответствие вектору переменных вектор производных (образ исходного вектора), В разделе 7.5 было сказано, что существует такой базис (система собственных векторов
или в матричной форме
где
Учитывая преобразования перехода к старому базису, получаем
где Н - матрица, состоящая из собственных векторов При t =0 матрица
Окончательно, решение СЛДУ
Пример. Найти решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений с начальными условиями Матрица А имеет вид:
Найдем корни характеристического уравнения Определим собственные вектора. Для
Строки полученной матрицы являются линейно-зависимыми. Решим систему уравнений для определения первого собственного вектора при Аналогично определим второй собственный вектор Матрица
Решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений получается в виде (7.18), или
|