Оценка сходимости итерационного процесса решения СЛУ

Математический аппарат собственных чисел и векторов с успехом может быть использован при оценке сходимости итерационного процесса решения системы линейных уравнений .

Итерационный метод определяется способом разбиения матрицы А на S и T, А = S + T. Как было упомянуто в разделе 5, в настоящее время при решении СЛУ применяются, в основном, методы простой итерации и Зейделя-Гаусса.

Для решения СЛУ методом простой итерации может быть используется рекуррентное соотношение (5.1) , где S - диагональная матрица, состоящая из диагональных элементов матрицы А, T =(A - S ). Нетрудно показать, что , где . В данном представлении является образом вектора при линейном преобразовании с матрицей F. Отсюда для обеспечения сходимости итерационного процесса ( ) необходимо, чтобы линейное преобразование было бы сжимающим, .

Для системы УУН в методе простой итерации

Поскольку , причем возможно точное равенство (для узлов, не связанных с базой) то , т.е. нет абсолютной гарантии сходимости итерационного процесса.

В методе Зейделя-Гаусса, как это было отмечено в 5.2, рекуррентное выражение имеет вид: . При этом

, .

Здесь также нет гарантии сходимости итерационного процесса, поскольку .