Квадратичные формы, их преобразования

Квадратичные формы

Квадратичные формы, их преобразования

Определение 6.1. Квадратичной формой от n переменных называется однородный многочлен второй степени

. (6.1)

Запись вида (6.1) называется координатной формой записи квадратичной формы (с приведенными подобными членами).

Если в -мерном линейном пространстве выбран некоторый базис, то переменные можно интерпретировать как координаты вектора в этом базисе, при этом координатный вектор-столбец. Если обозначить через (, ) матрицу -го порядка из коэффициентов , то квадратичную форму (5.1) можно записать в матричной форме

. (6.2)

При этом квадратная матрица называется матрицей квадратичной формы. В силу условия при всех она является симметрической матрицей. В самом деле, имеем

.

Определение 6.2. Рангом квадратичной формы (6.2) называется ранг её матрицы . При этом пишут

.

Определение 6.3. Квадратичная форма (6.2) называется невырожденной, если соответствующая ей матрица является невырожденной. При этом . В противном случае (если ) квадратичная форма (6.2) называется вырожденной.

Рассмотрим, как меняются коэффициенты квадратичной формы (6.2) при линейной замене переменных. Пусть переменные заменяются на переменные по формулам

(6.3)

где некоторые числа.

Если обозначить , , то формулы (6.3) можно переписать в матричной форме

. (6.4)

Определение 6.4. Преобразование (6.4) называется линейным преобразованием. Матрица называется матрицей линейного преобразования. При этом, если матрица является неособенной матрицей, то преобразование (6.4) называется неособенным линейным преобразованием.

Применим преобразование (6.4) к форме (6.2):

,

где обозначена матрица .

Итак, если к квадратичной форме (6.2) применить линейное преобразование (6.4), то получим квадратичную форму

(6.5)

Если рассматривать как координатные вектор-столбцы вектора в базисах соответственно, то матрица является матрицей перехода от базиса к базису (при этом преобразование (6.4) будет неособенным линейным преобразованием).

Наибольший интерес для дальнейшего изучения квадратичных форм представляют такие неособенные преобразования (6.4), которые приводят квадратичную форму (6.2) к квадратичной форме (6.5) с диагональной матрицей :

.

Определение 6.5. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит только квадраты переменных и не содержит парных произведений разноименных переменных:

. (6.6)

При этом базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (6.6), называется диагонализирующим базисом. Задача нахождения диагонализирующего базиса называется задачей диагонализации квадратичной формы.

Если (6.2) есть невырожденная квадратичная форма (), то в результате неособенного линейного преобразования (6.4) матрица будет являться неособенной матрицей (при неособенных линейных преобразованиях ранг матрицы не изменяется). То есть при всех : . Если же квадратичная форма (6.2) является вырожденной и имеет ранг , то диагонализирующий базис (если он существует) можно выбрать так, что матрица в этом базисе имеет следующий диагональный вид:

, , .

Позже будет показано, что для любой квадратичной формы всегда можно найти диагонализирующий базис, в котором эта форма имеет канонический вид (6.6).

Пример 6.1. Задана квадратичная форма от трех переменных в стандартном базисе пространства :

.

Найти вид этой квадратичной формы в базисе, если задана матрица перехода

.

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид

.

Тогда по формуле (6.5) определяем матрицу этой формы в новом базисе

.

В новом базисе переменных квадратичная форма имеет канонический вид

.