Положительно определенные квадратичные формы

Квадратичная форма от n неизвестных называется положительно определенной, если ее ранг равен положительному индексу инерции и равен числу неизвестных.

Теорема. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда на любом ненулевом наборе значений переменных принимает положительные значения.

Доказательство. Пусть квадратичная форма f(x ₁, …, x_n) невырожденным линейным преобразованием неизвестных

, i = 1, 2, …, n,

приведена к нормальному виду

.

Для любого ненулевого набора значений переменных x ₁, …, x_n хотя бы одно из чисел отлично от нуля, т.е. . Необходимая теорема доказана.

Предположим, что квадратичная форма f(x ₁, …, x_n) принимает положительные значения на любом ненулевом наборе переменных, но ее положительный индекс инерции s < n. Невырожденным линейным преобразованием неизвестных

, i = 1, 2, …, n,

приведем ее к нормальному виду. Без ограничения общности можно считать, что в этом нормальном виде квадрат последней переменной либо отсутствует, либо входит в нее со знаком минус, т.е. , где c = 0или -1. Предположим, что – ненулевой набор значений переменных x ₁, …, x_n, полученный в результате решения системы линейных уравнений

В этой системе число уравнений равно числу переменных и определитель системы отличен от нуля. По теореме Крамера система имеет единственное решение, и оно ненулевое. Для этого набора . Противоречие с условием. Наше предположение неверно и достаточная теорема доказана. ■

С помощью этого критерия нельзя по коэффициентам установить положительно определена ли квадратичная форма. Ответ на такой вопрос дает другая теорема, для формулировки которой введем еще одно понятие. Главные диагональные миноры матрицы A = (a_ij) – это миноры, расположенные в ее левом верхнем углу:

a ₁₁, , , …,

Теорема. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные диагональные миноры положительны.

Доказательство проведем методом полной математической индукции по числу n переменных квадратичной формы f. База индукции есть в силу того, что квадратичная форма ах ² от одной переменной положительно определена тогда и только тогда, когда a > 0.

Гипотеза индукции. Предположим, что для квадратичных форм с числом переменных < n утверждение верно.

Рассмотрим квадратичную форму от n переменных. Соберем в одну скобку все слагаемые, содержащие x_n. Оставшиеся слагаемые образуют квадратичную форму от n – 1 переменных. По гипотезе индукции для нее утверждение верно.

Предположим, что квадратичная форма f положительно определена. Тогда и квадратичная форма положительно определена. Если предположим, что это не так, то найдется ненулевой набор значений переменных (), для которого и, соответственно, , а это противоречит тому, что квадратичная форма f положительно определена. По гипотезе индукции все главные диагональные миноры квадратичной формы положительны, т.е. все первые n – 1 главные миноры квадратичной формы f положительны. Последний главный минор квадратичной формы f – этоопределитель ее матрицы. Этот определитель положителен, так как его знак совпадает со знаком матрицы ее нормального вида, т.е. со знаком определителя единичной матрицы.

Пусть все главные диагональные миноры квадратичной формы f положительны, Тогда положительны все главные диагональные миноры квадратичной формы из равенства . По гипотезе индукции квадратичная форма положительно определена, поэтому существует невырожденное линейное преобразование переменных x ₁, …, x_{n - 1}, которое приводит форму к виду суммы n -1 квадратов новых переменных . Это линейное преобразование можно дополнить до невырожденного линейного преобразования всех переменных x ₁, …, x_{n - 1}, x_n, полагая x_{n =} у_n. Квадратичная форма этим преобразованием приводится к виду

.

Дополним до полного квадрата слагаемые с

.

Невырожденное линейное преобразование

приводит квадратичную форму f к каноническому виду . Определитель матрицы этого канонического вида равен с и знак с совпадает со знаком определителя матрицы квадратичной формы f, который положителен по условию. Из того, что c > 0 следует, что положительный индекс квадратичной формы f равен n, т.е. форма f положительно определена. ■