![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теорема Лагранжа
Теорема. Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к виду, в котором коэффициент при квадрате первой переменной отличен от нуля. Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму x 1 = y 2, x 2 = y 1, x 3 = y 3, … xn = yn. Матрица этого линейного преобразования имеет вид:
невырожденная, так ее определитель равен -1. В преобразованной квадратичной форме коэффициент при у Пусть теперь коэффициенты при квадратах всех переменных равны нулю, но а 12 приводит квадратичную форму к виду, в котором коэффициент при у
Квадратичная форма имеет канонический вид, если в ее записи нет слагаемых с произведениями неизвестных, т. е.
Теорема. (Лагранжа). Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к каноническому виду. Доказательство. С помощью невырожденного линейного преобразования приведем квадратичную форму f к виду, в котором а 11
где оставшиеся слагаемые образуют квадратичную форму g(x 2, …, xn) от неизвестных х 2, …, хn. Невырожденное линейное преобразование неизвестных приводит квадратичную форму к виду
Повторив рассуждения, с учетом того, что последовательное выполнение невырожденных линейных преобразований вновь невырожденное линейное преобразование, получим утверждение теоремы. ■
Пример. Приведите с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных к каноническому виду квадратичную форму f = Линейное преобразование равен – 2, то оно невырожденное. Ответ: невырожденное линейное преобразование неизвестных Квадратичная форма с действительными коэффициентами имеет нормальный вид, если в ее записи нет слагаемых с произведениями неизвестных, а квадраты переменных входят с коэффициентами 1 или -1 или совсем не входят. После изменения нумерации переменных нормальный вид можно переписать так: вначале идут коэффициенты 1, затем -1, а затем нули,
Теорема. Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к нормальному виду. Доказательство. Ограничимся доказательством возможности преобразования канонического вида
|