Закон инерции

Теорема. (закон инерции действительных квадратичных форм)

Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора преобразования.

Доказательство. Пусть квадратичная форма f(x ₁, …, x_n) невырожденными линейными преобразованиями неизвестных

, (1)

(2)

приведена к двум нормальным видам:

, (3)

. (4)

Предположим, что k < s и составим систему n – s + k < n линейных однородных уравнений

Число уравнений в этой системе меньше числа неизвестных, поэтому система имеет ненулевое решение . Подставим числа этого решения в формулы преобразования (2) вместо переменных и предположим, что все полученные значения равны нулю:

Однородная система линейных уравнений, определитель которой отличен от нуля, по теореме Крамера имеет единственное решение – нулевое. Но среди чисел есть отличные от нуля. Получили противоречие. Числа равны нулю по условию, следовательно, хотя бы одно из чисел отлично от нуля, т. е. . Но в то же время . Противоречие. Следовательно, наше предположение, что k < s, неверно. Аналогично приводит к противоречию предположение, что k > s. Поэтому k = s. Если же полученное утверждение применим к квадратичной форме - f, то получим, что l = t. ■

Число s положительных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием, называется положительным индексом инерции этой формы. Число t отрицательных квадратов называется отрицательным индексом инерции. Число r = s + t называется рангом квадратичной формы. Оно равно рангу матрицы квадратичной формы. Число s – t называется сигнатурой квадратичной формы.