Упражнения. 1) Докажите, что ортогональные матрицы одного порядка образуют мультипликативную группу.

1) Докажите, что ортогональные матрицы одного порядка образуют мультипликативную группу.

2) Пусть А – комплексная матрица. Матрица строения называется сопряженной по отношению к матрице А, если для всех i, j . Докажите свойства:

а) ;

б)

в) ; ;

г)

д) ;

е) если линейный оператор невырожден, то ;

ё) для любого целого неотрицательного m.

ж) для любого целого m, если матрица А невырожденная;

з) если f(t) = – произвольный многочлен, то , где (х) = .

3) Матрица А называется нормальной, если Докажите, что в нормальной матрице скалярное произведение строк i и j равно скалярному произведению столбцов i и j.

4) Докажите, что в ортонормированном базисе унитарного пространства матрица нормального оператора нормальна. Обратно, нормальная матрица задает в ортонормированном базисе нормальный оператор.

5) Проверьте, что матрицы нормальные и для каждой найдите ортонормированный базис из собственных векторов

а) ; б) ; в) ; г) .

6) Матрица U называется унитарной, если Докажите, что матрица унитарна тогда и только тогда, когда все ее собственные значения по модулю равны единице.

7) Докажите, что унитарные матрицы одного порядка образуют мультипликативную группу.