Свойства сопряжения

1) ;

2)

3) ; ;

4)

5) ;

6) если линейный оператор невырожден, то ;

7) для любого целого неотрицательного m.

В силу свойства один линейные операторы и сопряжены друг другу. Свойство 3 в комплексном евклидовом пространстве приобретает вид .

Теорема. Если А – матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе, то – матрица линейного оператора в этом же базисе.

Доказательство. Пусть Тогда . С другой стороны . Отсюда, a_ij = b_ji для всех i, j;

1 i, j n. ■

Если = , то линейный оператор называется самосопряженным.

Теорема. Матрица самосопряженного линейного оператора в ортонормированном базисе симметрична.

Доказательство. = . ■

Теорема. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе симметрична, то линейный оператор самосопряженный.

Доказательство. Дано:

На базисных векторах линейный оператор ведет себя как самосопряженный. Пусть

С другой стороны . Правые части равны, поэтому равны и левые части, следовательно, ( для любых векторов а и b из Е. Это означает, что – самосопряженный линейный оператор. ■

Теорема. Собственные векторы самосопряженного линейного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть . Тогда

Правые части этих равенств равны, так как линейный оператор самосопряжен, поэтому равны и левые, т.е. ввиду того, что ■

Теорема. Корни характеристического многочлена симметрической матрицы с действительными коэффициентами действительны.

Доказательство. Пусть – корень характеристического многочлена матрицы А с действительными коэффициентами. Тогда существует ненулевое решение однородной системы линейных уравнений с матрицей , т.е. имеем систему равенств

,

где . После умножения каждого из этих равенств соответственно на получим или после суммирования всех равенств . В этом равенстве перейдем к сопряженным величинам . В силу симметричности матрицы А левые части двух последних равенств равны, поэтому равны и правые части, поэтому . ■

Теорема. Для любой симметрической матрицы A с действительными элементами найдется ортогональная матрица Q, для которой матрица Q ^-1 AQ диагональная.

Доказательство проведем методом полной математической индукции по порядку n матрицы А. Матрицу А рассматриваем как матрицу линейного оператора в некотором ортонормированном базисе n- мерного евклидового пространств. Пусть с ₁ – собственный вектор линейного оператора , принадлежащий собственному значению . Он существует, так как все характеристические корни матрицы А действительны. Считаем, что вектор с ₁ нормирован и включим его в ортонормированный базис с ₁, с ₂, …, с_n евклидова пространства. Подпространство, натянутое на векторы с ₂, …, с_n, инвариантно относительно и по гипотезе индукции в нем существует базис, в котором матрица линейного оператора, индуцированного линейным оператором , диагональна. Тогда матрица линейного оператора в базисе с ₁, с ₂, …, с_n диагональна. Матрица Q перехода от первоначального базиса к базису с ₁, с ₂, …, с_n искомая. ■