Квадратичная форма, ее матрица

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Направление 080100

«Экономика»

Очная форма обучения

Рязань 2012
Тема 10. Квадратичные формы

1. Квадратичная форма, ее матрица.

2. Преобразования квадратичных форм.

3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования.

5. Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичной формы.

6. Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы.

7. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Квадратичная форма, ее матрица

Определение 10.1. Квадратичной формой от n переменных называется однородный многочлен второй степени

. (10.1)

Запись вида (10.1) называется координатной формой записи квадратичной формы (с приведенными подобными членами).

Если в -мерном линейном пространстве выбран некоторый базис, то переменные можно интерпретировать как координаты вектора в этом базисе, при этом координатный вектор-столбец. Если обозначить через (, ) матрицу -го порядка из коэффициентов , то квадратичную форму (5.1) можно записать в матричной форме

. (10.2)

При этом квадратная матрица называется матрицей квадратичной формы. В силу условия при всех она является симметрической матрицей. В самом деле, имеем

.

Определение 10.2. Рангом квадратичной формы (10.2) называется ранг её матрицы . При этом пишут

.

Определение 10.3. Квадратичная форма (10.2) называется невырожденной, если соответствующая ей матрица является невырожденной. При этом . В противном случае (если ) квадратичная форма (10.2) называется вырожденной.