Закон инерции квадратичной формы. Согласно теореме Лагранжа любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду

Согласно теореме Лагранжа любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду. То есть существует диагонализирующий (канонический) базис, в котором матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид

,

где . Тогда в этом базисе квадратичная форма имеет вид

. (10.17)

Пусть среди ненулевых элементов имеется положительных и отрицательных, причем . Меняя, в случае необходимости нумерацию базисных векторов, можно всегда добиться того, чтобы в диагональной матрице квадратичной формы первые элементов были положительными, остальные – отрицательными (если , то последние элементов в матрице – нули). В результате квадратичную форму (10.17) можно записать в следующем виде

(10.18)

В результате замены переменных на переменные согласно системе:

квадратичная форма (6.18) примет диагональный вид, в которой коэффициенты при квадратах переменных единицы, минус единицы или нули:

, (10.19)

где матрица квадратичной формы (10.19) имеет диагональный вид

. (10.20)

Определение 10.9. Запись (10.19) называется нормальным видом квадратичной формы, а диагонализирующий базис, в котором квадратичная форма имеет матрицу (10.20), называется нормализирующим базисом.

Таким образом, в нормальном виде (10.19) квадратичной формы диагональными элементами матрицы (10.20) могут быть единицы, минус единицы или нули, причем располагаются они так, что сначала первыми идут единиц, затем минус единиц, потом нулей (не исключаются случаи обращения в нуль указанных значений , , ).

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 10.3. Всякая квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (10.19) с диагональной матрицей (10.20).

Закон инерции квадратичной формы

Квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду различными способами (методом Лагранжа, методом ортогональных преобразований или методом Якоби). Но, несмотря на многообразие канонических видов для данной квадратичной формы, имеются такие характеристики её коэффициентов, которые во всех этих канонических видах остаются неизменными. Речь идет о так называемых числовых инвариантах квадратичной формы. Одним из числовым инвариантом квадратичной формы является ранг квадратичной формы.

Теорема 10.4 ( об инвариантности ранга квадратичной формы ). Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных преобразованиях и равен числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде. Другими словами, ранг квадратичной формы равен количеству ненулевых собственных чисел матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).

Определение 10.10. Ранг квадратичной формы называется индексом инерции. Число положительных и число () отрицательных чисел в нормальном виде (3) квадратичной формы называются положительным и отрицательным индексами инерции квадратичной формы соответственно. При этом список называется сигнатурой квадратичной формы.

Положительный и отрицательный индексы инерции являются числовыми инвариантами квадратичной формы. Справедлива теорема, называемая законом инерции.

Теорема 10.5 ( закон инерции ). Канонический вид (10.17) квадратичной формы определён однозначно, то есть сигнатура не зависит от выбора диагонализирующего базиса (не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду).

□ Утверждение теоремы означает, что если одна и та же квадратичная форма при помощи двух неособенных линейных преобразований

, (10.21)

приведена к различным каноническим видам ():

то обязательно , то есть количество положительных коэффициентов совпадает с количеством положительных коэффициентов .

Вопреки утверждению, предположим, что . Так как преобразования (10.21) невырожденные, то выразим из них канонические переменные :

, .

Найдем вектор такой, чтобы соответствующие векторы , имели вид

, (10.22)

. (10.23)

Для этого представим матрицы и в следующих блочных видах:

, ,

где обозначены -матрица, -матрица, -матрица, -матрица.

В результате блочных представлений матриц и составим однородную систему линейных алгебраических уравнений, взяв из (10.22) первые уравнений, а из (10.23) – последние уравнений:

Полученная система содержит уравнений и неизвестных (компонент вектора ). Так как , то , то есть в этой системе число уравнений меньше числа неизвестных, и она имеет бесконечное количество решений, среди которых можно выделить ненулевое решение .

На полученном векторе значения формы имеют разные знаки:

,

,

что невозможно. Значит, предположение о том, что неверно, то есть .

Из того, что следует, что сигнатура не зависит от выбора диагонализирующего базиса. ■

В качестве иллюстрации закона инерции можно показать, что квадратичная форма от трех переменных:

двумя неособенными линейными преобразованиями , с соответствующими матрицами

,

(первая матрица соответствует методу Лагранжа, вторая – методу ортогональных преобразований) приводится соответственно к двум различным каноническим формам

, .

При этом обе канонические формы имеют одну и ту же сигнатуру

6. Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы

Квадратичные формы подразделяют на типы в зависимости от множества принимаемых ими значений.

Определение 10.11. Квадратичная форма называется:

положительно определенной, если для всякого ненулевого вектора : ;

отрицательно определенной, если для всякого ненулевого вектора : ;

неположительно определенной (отрицательно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора : ;

неотрицательно определенной (положительно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора : ;

знакопеременной, если существуют ненулевые векторы , : .

Определение 10.12. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными. Неположительно (неотрицательно) определенные квадратичные формы называются знакопостоянными.

Тип квадратичной формы можно легко определить, приведя ее к каноническому (или нормальному) виду. Справедливы следующие две теоремы.

Теорема 10.6. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду и имеет сигнатуру (, ). Тогда:

является положительно определенной ;

является отрицательно определенной ;

является неположительно определенной ;

является неотрицательно определенной ;

является знакопеременной .

Из теоремы в частности следует, что всякая знакоопределенная форма является невырожденной (, ), всякая знакопостоянная форма является вырожденной (, ). Знакопеременная форма может являться как невырожденной, так и вырожденной.

Ниже в таблице указаны примеры квадратичных форм (), записанных в каноническом (или нормальном) виде, их тип и сигнатуры.

№	Квадратичная форма	Сигнатура	Тип формы
			Положительно определенная
			Отрицательно определенная
			Неположительно определенная
			Неотрицательно определенная
			Знакопеременная, невырожденная
			Знакопеременная, вырожденная

Теорема 10.7. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду методом ортогональных преобразований ( собственные значения матрицы формы ). Тогда:

является положительно определенной при всех ;

является отрицательно определенной при всех ;

является неположительно определенной при всех ;

является неотрицательно определенной при всех ;

является знакопеременной среди собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные.