Преобразования квадратичных форм

Рассмотрим, как меняются коэффициенты квадратичной формы (10.2) при линейной замене переменных. Пусть переменные заменяются на переменные по формулам

(10.3)

где некоторые числа.

Если обозначить , , то формулы (10.3) можно переписать в матричной форме

. (10.4)

Определение 10.4. Преобразование (10.4) называется линейным преобразованием. Матрица называется матрицей линейного преобразования. При этом, если матрица является неособенной матрицей, то преобразование (10.4) называется неособенным линейным преобразованием.

Применим преобразование (10.4) к форме (10.2):

,

где обозначена матрица .

Итак, если к квадратичной форме (10.2) применить линейное преобразование (10.4), то получим квадратичную форму

(10.5)

Если рассматривать как координатные вектор-столбцы вектора в базисах соответственно, то матрица является матрицей перехода от базиса к базису (при этом преобразование (10.4) будет неособенным линейным преобразованием).

Наибольший интерес для дальнейшего изучения квадратичных форм представляют такие неособенные преобразования (10.4), которые приводят квадратичную форму (10.2) к квадратичной форме (10.5) с диагональной матрицей :

.

Определение 10.5. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит только квадраты переменных и не содержит парных произведений разноименных переменных:

. (10.6)

При этом базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (10.6), называется диагонализирующим базисом. Задача нахождения диагонализирующего базиса называется задачей диагонализации квадратичной формы.

Если (10.2) есть невырожденная квадратичная форма (), то в результате неособенного линейного преобразования (10.4) матрица будет являться неособенной матрицей (при неособенных линейных преобразованиях ранг матрицы не изменяется). То есть при всех : . Если же квадратичная форма (10.2) является вырожденной и имеет ранг , то диагонализирующий базис (если он существует) можно выбрать так, что матрица в этом базисе имеет следующий диагональный вид:

, , .

Позже будет показано, что для любой квадратичной формы всегда можно найти диагонализирующий базис, в котором эта форма имеет канонический вид (10.6).

Пример 10.1. Задана квадратичная форма от трех переменных в стандартном базисе пространства :

.

Найти вид этой квадратичной формы в базисе, если задана матрица перехода

.

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид

.

Тогда по формуле (10.5) определяем матрицу этой формы в новом базисе

.

В новом базисе переменных квадратичная форма имеет канонический вид

.