Согласованный фильтр для прямоугольного импульса.

Зададим сигнал как

Спектральная плотность такого сигнала:

A eгo модуль:

Примем t₀ = T_c

Используя соотношение найдем передаточную функцию согласованного

фильтра: . Коэффициент передачи согласованного фильтра полностью совпадает по форме со

спектральной плотностью входного сигнала. Импульсная характеристика фильтра совпадает по форме с входным сигналом:

Необходимо отметить, что интеграл сходящийся, т.е. фильтр физически реализуем.

Структурная схема имеет следующий вид. Множитель 1/jω реализуется интегрирующим звеном, а множитель

реализуется устройством вычитания сигнала без задержки и с задержкой Тс.

Реализация такого устройства в идеале невозможно, но можно получить хорошее приближение при использовании реальной интегрирующей RC-цепи, если обеспечить постоянную времени этой цепи, достаточно большую по сравнению с Тс.

Получающийся при этом на выходе вычитающего

устройства импульс может быть сделан достаточно

близким к прямоугольному.

Найдем напряжение на выходе фильтра.

Используем соотношение S_вых(t)=AB_S(t-t₀)

Соотношение сигнал/шум на выходе:

Как видно, сигнал на выходе повторяет корреляционную функцию сигнала на входе, следовательно можно изобразить вид сигнала на выходе.

Для точного определения сигнала на выходе необходимо знать коэффициент А. Определим его компоненты:

Отсюда можно найти сигнал на выходе:

Нормированный выходной сигнал:

2. Фильтр, согласованный с ЛЧМ сигналом.

Рассмотрим сигнал, огибающая которого имеет прямоугольную форму, а частота заполнения изменяется по линейному закону со скоростью , где Тс - длительность импульса, 2ω _Д - полное

изменение частоты внутри импульса, ω ₀=2π f₀ - центральная частота заполнения. Будем исходить из условия, что 2ω _Д< < ω ₀. Таким образом текущее значение частоты ω (t)=ω ₀+β t. Отсюда мгновенное значение сигнала в

интервале (-Тс/2, Тс/2) определяется выражением:

Распределение амплитуды и фазы сигнала, как известно, имеет следующий вид:

Реализовать согласованный фильтр для такого сигнала довольно трудно, поэтому прибегают к различным приемам аппроксимации. Предположим, что огибающая спектра сигнала имеет прямоугольную форму

, где - база сигнала, а фазовая характеристика имеет форму квадратичной параболы (постоянный фазовый сдвиг π /4 опущен). Такое приближение тем лучше, чем больше m.

Для сигнала с подобными амплитудными и фазовыми спектрами согласованный фильтр должен обладать прямоугольной АЧХ и ФЧХ, определяемой соотношением:

Слагаемое нужно в том случае, если отсчет времени ведется от начала импульса, а не от его середины.

Согласованный фильтр реализуется в виде сочетания полосового резонансного фильтра и специального четырехполюсника с равномерной АЧХ и квадратичной ФЧХ с временной задержкой

. В качестве устройства с требуемой ФЧХ может быть использована любая цепь с задержкой, линейно зависящей от частоты, в некотором частотном диапазоне (вблизи ω ₀). Воспользуемся выражение для корреляционной функции ЛЧМ сигнала

Заменим τ на t-Tc. и ограничимся рассмотрением участка вблизи точки τ =Tc. В этом случае

Учитывая, что , получим

Подставляя это выражение в соотношение найдем напряжение на выходе:

,

Где U_вых(t) – огибающая выходного сигнала.

Частота, при прохождении сигнала через фильтр, изменяется так, что сигнал с частотой ω ₀ не меняется с частотой ω < ω ₀ получает положительную добавку, а с частотой ω > ω ₀ – отрицательную добавку и, в результате, на выходе получается немодулированный сигнал с частотой заполнения ω ₀.

Пик позволяет выделить сигнал на фоне помех.

Спектр сигнала на выходе отличен от спектра сигнала на входе. Таким образом эффект частотной модуляции после согласованного фильтра изменяется и спектр приобретает вид 2 лепестков прямоугольной

формы симметричных относительно частоты ±ω ₀ с линейным фазовым спектром.

В соответствии с теорией о смещении спектра подобная структура соответствует функции времени вида A(t)cosω ₀t, где A(t) — медленная функция имеющая смысл огибающей сжатого сигнала Спектральная плотность функции A(t) получается сдвигом импульсов на величину ω ₀, тогда спектр огибающей имеет форму прямоугольника с основанием 2ω _д и центром ω =0 т. е. сама функция имеет вид синкума.

На выходе согласованного фильтра при любом законе частотной модуляции входного сигнала отсутствует модуляция ВЧ составляющей. При определении огибающей выходного сигнала необходимо учитывать изменение формы амплитуды спектра сигнала в фильтре (для непрямоугольных сигналов на выходе).

Запишем выражение для сигнала на выходе с учетом коэффициента А.

Отсюда следует, что Проведя ряд подстановок и вычислений получим: