Оценка реализуемости согласованного фильтра

Пусть задан сигнал s(t), которому соответствует импульсная характеристика согласованного фильтра и преобразование Фурье от этой функции . Возникает вопрос, при каких условиях может являться передаточной функцией физически осуществимого устройства.

Для анализа будет использовать критерий Пэли-Винера:

где w –– безразмерная нормированная величина. Интеграл должен быть сходящимся.

Критерий Пэли-Винера является необходимым, но недостаточным. Он оставляет открытым вопрос о структуре согласованного фильтра. Но из него следует:

1. АЧХ фильтра должна быть интегрируемой в квадрате: . При выполнении этого условия будет возрастать медленнее, чем , что необходимо для сходимости интеграла.

2. АЧХ может быть равной 0 только на некоторых дискретных частотах, но не в конечной полосе частот. В связи с этим фильтры с П-образной АЧХ нереализуемы.

Пример Передаточная функция . При w> 0 реализуема, так как

растет медленнее, чем .

Пример Передаточная функция Гауссового фильтра . Числитель

растет с такой же скоростью, что и знаменатель , т.е. фильтр не реализуем.