Теперь мы переходим к рассмотрению пучков.

Е. Дан действительный пучок и окружность О. Построить окружность, ортогональную данной окружности О и входящую в этот пучок. Решение: т.к. действительный пучок это совокупность окружностей, проходящих через две данные точки Р1 и Р2, то задача уже решена в пунктах А., В., D. (в зависимости от того, лежат ли точки Р1 и Р2 на О).

F. Дан мнимый пучок, оба центра которого Р1 и Р2 – не лежат на окружности О. Построить окружность, входящую в этот пучок и ортогональную О. Решение:

Рисунок 2.

(Окружность О, окружности О1 и О2, проходящие через точки Р1 и Р2 и пересекающие О. Р1 и Р2 лежат по одну сторону от О)

Строим, как указано в ст. 6 окружность О3, ортогональную трем окружностям Лобачевского О, О1, О2. Т.к. О3 ортогональна О1 и О2, то она лежит во мнимом пучке с центрами в Р1 и Р2. По построению – она ортогональна О. что и требовалась, О3 – искомая окружность.

Если О разделяет точки Р1 и Р2, то три окружности О, О1, О2 – Римановы окружности и им всем ортогональна мнимая инверсия, у которой нет неподвижной окружности. в этом случае существует искомая инверсия, но не существует искомой окружности (или это – мнимая окружность).

G. То же самое, но ровно один из центров мнимого пучка лежит на окружности О. Решение: в этом случае нет ни окружности ни инверсии (действительной или мнимой) из данного пучка и ортогональной О. (Если не считать, как мы делали в ст. 5 – сам центр пучка «маленькой инверсией»). Доказательство. Пусть I – искомая инверсия, а P1 – тот центр пучка, который лежит на О. по определению мнимого пучка I(Р1)=Р2. I(P1) должно лежать на О, т.к. I по предположению ортогональна О. Но по условию только один центр пучка лежит на О, поэтому Р2 не может лежать на О. Противоречие. Следовательно, искомой I не существует. Что и требовалось.

H. Тоже самое, но О проходит через Р1 и Р2. Решение: тогда О ортогональна любой окружности данного пучка.

I. Дан касающийся пучок окружностей и окружность О, построить окружность из этого пучка, ортогональную О. Решение. Пусть А и В – две окружности из касающегося пучка, Р – точка их касания. Окружность, проходящая через О(Р) и касающаяся В в точке Р и будет искомой (она ортогональна О, т.к. проходит через симметрично относительно О точки: Р и О(Р)). Построение такой окружности см пункт С. (Если Р лежит на О, то либо О ортогональная всем окружностям данного пучка, либо – ни одной.)

Теперь мы будем решать задачи про окружности в пучках, касающиеся данной окружности О. Будет использоваться один и тот же прием: находится окружность Н, ортогональная О и всем окружностям данного пучка. Две окружности данного пучка, проходящие через точки пересечения О и Н и будут искомыми. Вспомним, что именно к этой задаче нас привела Задача Аполлония.

J. Построить окружность, лежащую в мнимом пучке с центрами Р1 и Р2 и касающуюся данную О. Решение.

1. пусть ни Р1 ни Р2 не лежат на О.

Рисунок 3.

(Окружность О, точки Р1 и Р2, окружность Н, проходящая через Р1 и Р2 и ортогональная О, точки пересечения Н и О – Q1 и Q2).

Проведем через Q1 окружность О1, лежащую в данном мнимом пучке – она будет искомой. Также окружность О2, проходящая через Q2 и лежащая в данном мнимом пучке – будет искомой. Таким образом существуют два решения задачи. Доказательство.

Окружность Н ортогональна всем окружностям мнимого пучка с центрами в Р1 и Р2 (т.к. проходит через центры пучка), следовательно О1, окружность этого пучка – также ортогональна Н. Но Н ортогональна и О и все три окружности О, О1 и Н проходят через точку Q1. Следовательно О касается О1. Что и требовалось. Тоже самое и про О2.

Мы доказали, что О1 и О2 – искомые окружности. Докажем, что других окружностей, удовлетворяющих условию нет. Пусть I лежит в данном пучке и касается О. Проведем через центры пучка окружность и точку касания О с I окружность Н. Т.к. Н проходит через центры пучка, Н – ортогональная I, т.к. I и О касаются – Н ортогональна О. Значит I проходит через точку пересечения О с окружностью, ортогональной О и всем окружностям данного пучка. Такая окружность единственна. Что и требовалось.

2. Один из центров пучка лежит на О. В этом случае есть только одна окружность, касающаяся О и входящая в данный мнимый пучок. Предлагаю самостоятельно модифицировать рассуждения п. 1.

3. Оба центра лежат на О. Тогда О ортогональна все окружность данного пучка, следовательно в нем нет окружностей, касающихся О.

Заметим, что решение задачи не зависит от того, разделяет О Р1 и Р2 или нет.

K. Построить окружность, лежащую в действительном пучке с центрами Р1 и Р2 и касающуюся данную окружность О. Решение (когда она существует!). Решение аналогично предыдущему случаю. Проводим окружность Н, ортогональную всем окружностям пучка и О, пересекающую окружность О в точках Q1 и Q2. Окружности О1 и О2, проходящие соответственно через Q1, P1, P2 и Q2, P1, P2 – и будут искомыми.

1. Р1 и Р2 лежат по одну сторону от О.

Н лежит в мнимом пучке с центрами Р1 и Р2. Проводим Н, пользуясь пунктом F. Доказательство того, что получающиеся О1 и О2 – единственное решение задачи аналогично пред. случаю.

2. Р1 и Р2 лежат по разные стороны от О. В этом случае инверсия, ортогональная данному пучку и окружности О – мнимая (см. пункт F.) у нее нет неподвижных точек и поэтому – не может быть точек пересечения с О. Задача не имеет решения. Это тривиально доказать иначе: если О разделяет Р1 и Р2, то всякая окружность, проходящая через Р1 и Р2 – пересекает О и потому не касается ее.

3. Один из центров пучка лежит на О. В это случае мы не можем провести требуемой окружности Н. Тем не менее существует одна и только одна окружность, проходящая через Р1 и Р2 и касающаяся О. См пункт С.

4. Если Р1 и Р2 оба лежат на О, то искомой окружности не существует.

L. Дан касающийся в точке Р пучок окружностей, найти окружность пучка, касающуюся данную окружность О. Решение. Проведем окружность Н, ортогональную всем окружностям данного пучка следующим образом: через точки Р, О(Р), О1(О(Р)), где О1 – произвольная окружность данного пучка. Она ортогональна О, т.к. проходи через пару сопряженных относительно О точек, она ортогональна О1, т.к. проходит через пару сопряженных с О1 точек и т.к. она проходит через Р и ортогональна одной окружности пучка, то она ортогональна всем окружностям касающегося пучка. Далее действует аналогично пред. случаям.

Если центр пучка Р лежит на О, то либо О сама лежит в этом пучке, либо не касается ни одной окружности из него.

Наш список закончен.