Построение изогональных окружностей к трем данным А, В, С и завершение задачи Аполлония.

Последние пункты исчерпывают задачу Аполлония. Повторим: мы выбирает две какие-то биссектрисы D1 и D2 между А и В и между В и С. Строим окружность из пучка, ортогональному пучку (D1, D2) касающуюся А (или В, или С). Таких окружностей в общем случае две. Она автоматически касается всех остальных, т.к. изогональна ко всем трем окружностям А, В, С. Поскольку эти две биссектрисы можно выбрать 2x2=4 способами, то всего окружностей, касающихся данных А, В, С – 4х2=8. Как геометрически осмыслить предложенный метод решения задачи Аполлония?

Начнем с несложного, но интересного случая: ищем окружность, касающуюся А, В, С, которые сами все касаются друг друга. В этом случае между любой парой исходных окружностей – всего одна биссектриса. Т.к. любая из трех окружностей изогональна к двум оставшимся (касается их), то она ортогональна биссектрисе между двумя другими.. Поэтому каждая биссектриса меняет местами точки касания противоположной окружности с двумя другими. И оставляет неподвижной оставшуюся из трех точек касания (т.к. просто проходит через нее) Это случай расположения точек касания окружностей и биссектрис рассмотрен в теореме о тройственной симметрии (ст. 3). Из этой теоремы следует, что все биссектрисы пересекаются под углом 60 градусов.

Можно построить биссектрису напр., между А и В как окружность из касательного пучка, ортогональную данной С, пользуясь п. I списка. Т.к. биссектриса сама ортогональна противоположной окружности, то достаточно найти ее точки пересечения с ней и выбрать из этих пар по точке и провести две окружности О1 и О2, касающиеся А, В, С.

Рисунок 4.

(Три касающиеся друг друга окружности А, В, С, три биссектрисы между ними D1, D2, D3, пересекающиеся между собой в двух точках, окружность О, ортогональная А, В, С, точки пересечения биссектрис с окружностями А, В, С и две окружности, проведенные через эти точки. Эти окружности касаются А, В, С и сопряжены относительно О.)

Заметим, что мы можем искать окружность, касающуюся А и В, и С в пучке (В, С) и касающуюся А. Такие окружности в этом пучке есть, это – В и С. Так что они не дают нам новых окружностей, а касается ли окружность сама себя – вопрос скорее философский.

Мы видим, что в этом случае предложенный алгоритм решения задачи Аполлония работает успешно и удобно. Успешно он работает всегда, но не всегда его можно назвать «удобным». Пусть, например, среди окружностей есть непересекающиеся. Тогда появятся мнимые биссектрисы. Находить центры пучка, заданного мнимыми биссектрисами – не очень-то удобно. Как это можно сделать? Чтобы найти центр мнимого пучка, заданного инверсиями (действительным или мнимыми) S и T – можно провести две любые окружности, ортогональные S и T. Точки пересечения этих окружностей и будут центрами пучка (S, T). Ортогональную окружность мы построим взяв произвольную точку Х и проведя окружность через Х, S(X), T(X) – заметим, что для этого нам не нужно знать действительные или мнимые S и T, знать неподвижные окружности этих инверсий.

Пусть теперь S и T – биссектрисы между А и В и между В и С. Мы выберем Х лежащей на окружности А. Тогда S(X) и T(X) можно найти, проведя окружности О1 и О2, ортогональные соответственно А и В; В и С через точку Х. Пусть О1 пересекает В в точках В1 и В2, О2 пересекает С в точках С1 и С2.

Рисунок 5.

(Три непересекающиеся окружности А, В, С, точка Х на А, окружность О1, проходящая через Х и ортогональная А и В, окружность О2, ортогональная А и С и проходящая через Х. В1 и В2 – точки пересечения О1 с В, С1, С2 – точки пересечения О2 и С.)

Заметим, что окружности О1 и О2 – касаются друг друга, т.к. ортогональны окружности А и обе проходят через точку Х, лежащую на А. Как нетрудно показать (ст. 3, 6), под действием S точка Х перемещается по О1 и S(Х) равна одной из двух точек пересечения О1 с В – В1 или В2. Указав, чему равна S(X) мы указываем, какую из двух возможных биссектрис между А и В мы выбрали (см. ст. 6). Аналогично, указав чему равна Т(Х) – С1 или С2 мы указываем, какую биссектрису между А и С мы выбираем.

Теперь заметим, что окружность Х, В1, С1 – ортогональна каким-то двум биссектрисами (одна между А и В, вторая – между А и С). Ведь пара точек Х, В1 – сопряжена относительно биссектрисы между А и В, пара точек Х, С1 – сопряжена относительно биссектрисы между А и С. Точно также, еще каждая из трех окружностей: Х, В1, С2; Х, В2, С1; Х, В2, С2 – ортогональна каким-то двум биссектрисам между А и В и между А и С. Заметим, что отсюда следует что все эти четыре окружности – изогональны к А, В и С (образуют со всеми ними равные углы).

Для того, чтобы найти центр пучка, образованных биссектрисами между А и В и между А и С – надо построить в каждом из четырех случаев – еще одну окружность, ортогональную паре биссектрис. Для этого мы выберем точку Z на А и проделать с ней аналогичные операции. Мы получим четыре окружности, каждая из которых ортогональна какой-то паре биссектрис между А и В и между А и С. Но вот указать, какие из этих четверок окружностей ортогональны одной и той же паре – не всегда просто. по крайней мере – это не назовешь удобным.

Можно поступить иначе. Т.к. А, В, С – не пересекаются, то существует окружность I ортогональная им всем. Она будет ортогональна и всем биссектрисам. Как ее построить – см. ст. 6. Точки пересечения I с построенными нами четырьмя окружностями, проходящими через Х – и будут центрами пучков соответствующих пар биссектрис. А если какая-то окружность из этой четверки не пересекает I – значит отвечающая за эту окружность пара биссектрис (та, которой она ортогональна) – сама пересекается, образуя действительный пучок. Так мы находим центры мнимых пучков, образованных биссектрисами.

Искомая, касающаяся А, В, С окружность лежит в пучке, ортогональном пучку биссектрис. Т.к. в рассматриваемом нами случае – пучок биссектрис мнимый, то касательная окружность лежит в действительном пучке. Мы пользуемся пунктом К.