Теорема об отображении трех точек.

В статье 6 было доказано, что если какое-то непрерывное отображение, сохраняющее окружности (т.е. переводящее точки, лежащие на одной окружности в точки, снова лежащие на одной окружности и наоборот) оставляет неподвижными три точки, то это – или инверсия или неподвижное движение. Сейчас мы докажем, что с помощью композиции инверсию любые три точки можно отобразить в любые другие. Сформулируем точнее

Пусть даны три точки А, В, С. Для любых трех точек F, E, D существует композиция инверсий f, такая, что f(A)=F, f(B)=E, f(C)=D. Доказательство будет состоять из двух этапов. сначала мы докажем, что три произвольные точки можно отобразить в три другие. при этом мы не обращаем внимания, в какую именно точку (из трех возможных) отобразится А, в какую В или С. Затем мы покажем, что с помощью композиции инверсий можно произвольно переставлять точки данной тройки. в совокупности эти два утверждения и дадут требуемое: мы отобразим А, В, С в F, E, D не заботясь о том в какие именно точки перейдут А, В, С, а потом – нужным образом переставим точки.

Докажем лемму:

Три взаимно касающиеся окружности S, T, H с помощью композиций трех инверсий можно отобразить в любые три взаимно касающиеся окружности S1, T1, H1. Доказательство.

Пусть I1 – инверсия, отображающая S в S1, I1(S)=S1. I1 – одна из двух биссектрис между S и S1. Между I1(T) и T1 есть две биссектрисы. Выберем I2 ту из них, которая ортогональна S1=I1(S). Такая биссектриса существует, т.к. S1 касается Т1 и I1(T) (первое по условию, а второе т.к. S касается T, то их образы при инверсии относительно I1 – касаются друг друга). тогда I2(I1(T))=T1, I2(I1(S))=I2(S1)=S1. Т.е I2*I1 отображает две из трех существующих окружностей в те, которые мы хотели. Третья, Н, перешла в I2(I1(H)). Эта окружность касается I2(I1(S))=S1 и I2(I1(Т))=Т1 (т.к. Н касается S и Т). Этих двух окружностей, по условию, касается и Н1. Итак, S1 и Т1 касаются друг друга, Н1 и I2(I1(H)). Нам в первую очередь важно, что S1 и Т1 касаются Н1 и I2(I1(H)) – отсюда следует, что S1 и Т1 – ортогональны каким-то биссектрисам между Н1 и I2(I1(H)). Если они обе ортогональны одной и той же биссектрисе – обозначим ее I3 – то I3(I2(I1(H))=H1 а т.к. I3 – ортогональна S1 и Н1, то композиция инверсий W=I3*i2*i1 – и будет искомой: I3(I2(I1(H))=H1, I3(I2(I1(Т))=I3(T1)=T1, I3(I2(I1(S))= I3(I2(S1))=I3(S1)=S1. Что и требовалось.

Если же S1 и Т1 ортогональны разным биссектрисам между Н1 и I2(I1(H)), то S1 и Т1 лежат в разных семействах касательных окружностей к Н1 и I2(I1(H)). Легко видеть, что это невозможно. что и требовалось.

Заметим, что это доказательство несложно обобщается не трехмерное и многомерное пространство – n взаимнокасающихся сфер композицией инверсий можно отобразить в любые другие n взаимнокасающихся сфер.

С помощью леммы докажем первую часть теоремы о трех точках. Проведем через три данные точки А, В, С три, касающиеся друг друга в этих точках окружности S, T, H. Мы всегда можем это сделать. проведем через произвольные точки F, E, D – касающиеся друг друга в этих точках окружности S1, Т1, Н1. Как доказано в лемме, существует композиция инверсий (обозначим ее W), отображающая окружности S, T, H в S1, T1, H1. Следовательно W отображает точки касания S, T, H между собой в точки касания S1, T1, H1 между собой. Тем самым W отображает А, В, С в F, E, D. Правда, мы не знаем какую точку в какую именно, неизвестно W(A)=F или W(A)=E или W(A)=D. Теперь докажем, что с помощью композиций инверсий мы можем как угодно переставить три точки. По сути это уже было сделано в ст. 3 в теореме о тройственной симметрии. Для произвольных трех точек X, Y, Z существуют инверсии, любую одну из них неподвижной и меняющие местами две других. Композицией таких инверсий можно как угодно переставлять три данные точки. что и требовалось.

Теперь тривиально доказать сформулированную теорему.

1. Отобразим с помощью описанного ранее W точки А, В, С в точки F, E, D.

2. Если W(A)=F, W(B)=E, W(C)=D, то W и будет искомым отображением. Если нет, то мы переставим нужным образом точки F, E, D (или А, В, С) и получим искомое отображение. Что и требовалось.

Композиции четного числа инверсий называются «собственными движениями» У них есть важные отличия от движений, осуществляемых нечетным числом инверсий. Например, каждая инверсия меняет ориентацию. поэтому собственные движения оставляют ориентацию неизменной (они меняют ее четное число раз, а минус на минус дает плюс), а все несобственные движения – меняют ориентацию на противоположную. Заметим, что композиция двух собственных движений – снова собственное движение и тождественное движение (когда ничего не меняется) – также собственное движение (в нем участвует ноль инверсий или одна и та же дважды – в любом случае – четное число инверсий). Отсюда следует, что собственные движения образуют подгруппу в группе всех движений геометрии окружности (см. ст. 5).

Мы доказали, что существует композиция инверсий W, такая, что W(A)=F, W(B)=E, W(C)=D, каковы бы не были точки А, В, С, D, E, F. Докажем, что существует собственное движение, также отображающее также эти точки друг в друга. Если в W четное число инверсий, то W и будет искомым собственным движением. Если нечетное, то осуществим еще инверсию относительно окружности М, проходящую через F, E, D. M*W и будет искомым собственным движением, т.к W отобразит три точки нужным образом, а М – оставит их все на своих местах. M*W – собственное движение, т.к. если в W – нечетное число инверсий, то в М*W – четное (на единицу больше). Что и требовалось.

Теперь очень просто доказать теорему про однозначное задание собственного движения его действием на трех точках. Пусть даны три произвольные точки А, В, С и три произвольные точки F, E, D. Всегда найдется собственное движение W, такое, что W(A)=D, W(B)=E, W(C)=F и если V – другое собственное движение, значения которого совпадают на точках А, В, С со значениями W, то W=V (эти движения совпадают на всех точках). Доказательство.

Существование такого собственного движения W мы только что доказали. Пусть существует еще одно собственное движение V, такое, что V(A)=D, V(B)=E, V(C)=F. Рассмотрим движение W^-1*V. Это – тоже собственное движение. W^-1*V(А)=W^-1(D)=A, W^-1*V(B)=W^-1(E)=B, W^-1*V(C)=W^-1(F)=C. Итак W^-1*V оставляет неподвижными точки А, В, С. Значит, по теореме о трех неподвижных точках (ст. 6) – оно или инверсия или тождественное движение. Т.к. W^-1*V – собственное движение, то оно не может быть инверсией, следовательно W^-1*V – неподвижна на всех точках то есть тождественное движение, W(X)=V(X) для всех точек Х. Что и требовалось.

Заметим, что если среди W или V есть несобственные движения, то их композиция может быть инверсией.