Шесть замечательных точек.

Сейчас мы изучим шесть точек пересечения трех ортогональных окружностей. в том числе мы докажем, что это – те же самые точки, что и шесть точек касания четырех взаимнокасающихся окружностей, которые мы изучали в ст. 3.

Также в этом разделе мы будем подсчитывать углы между окружностями. Угол между окружностями X и Y я буду обозначать (< XY или, если обозначения окружностей состоят более чем из одной буквы – (< X1, Y1 (разделяя запятой обозначения окружностей).

Рисунок 1.

(Взаимно ортогональные окружности D1, D2, D3. Точки пересечения D3 и D2 – A, B; точки пересечения D1 и D3 – С, D; точки пересечения D1 и D2 – E, F. Окружность S, проходящая через точки А, Е, D (точки Е и D – лежат внутри D3 и D2, точка А – в пересечении всех трех окружностей)).

В статье 6 мы уже рассматривали окружности, построенные на точках пересечения трех данных окружностях. Рассмотрим какую-нибудь такую окружность, например S и определим ее углы с исходными D1, D2, D3. проведем какую-нибудь биссектрису I между D2 и D3. Т.к. D1 изогональна к D2 и D3 (и т.к. она ортогональна им обоим, те. и всем окружностям пучка), то I ортогональна D1. I(D1)=D1, I(D2)=D3. Поэтому (чем мы многократно пользовались в ст. 8) I отображает точки пересечения D1 с D2 в точки пересечения D1 с D3 (но не известно какую именно точку в какую). Если же J – другая биссектриса между D2 и D3, то она отображает эти точки единственно оставшимся способом.. Пусть, например, I(E)=D, тогда I(S)=S и S – ортогональна I. Мы показали, что S ортогональна одной из биссектрис между D2 и D3, мы можем считать, что эта биссектриса обозначена I. Тогда угол между S и D2 равен углу между I(S) и I(D2) и равен углу между S и D3. Воспользуемся обозначением, введенным в начале раздела: (< S, D2=(< S, D3; (< S, D2+(< S, D3 = 90 градусов, следовательно (< S, D2=(< S, D3 = 45 градусов. (заметим, что (< D2, D3 – по определению прямой, поэтому нам не важно в основном или дополнительном угле (< D2, D3 проходит S. Обратим внимание, что хотя S и делит пополам угол между D2 и D3 – S не будет биссектрисой между ними, но касается одной из них.

Итак, мы вычислили угол между S и D2 и D3. совершенно аналогично показывается, что угол между S и D1 – тоже 45 градусов. Можно, например, рассмотреть биссектрису между D1 и D3, она оставит неподвижной точку D и поменяет местами точки А и Е. Рассмотрим теперь окружность Т, проходящую через А и С, F (две оставшиеся точки в пересечении D1 с D2 и D3). Точно такими же рассуждениями мы покажем, что она образует с D1, D2, D3 углы в 45 градусов. Но отсюда следует, что S касается T в точке А (нужно еще обратить внимание на взаимное расположение этих углов, или на то, что они касаются в А одной и той же биссектрисы между D2 и D3 и, значит – касаются между собой). Совершенно аналогично доказывается:

1. Любая из восьми возможных окружностей, построенных на точках пересечения D1, D2, D3 друг с другом образует с D1, D2, D3 углы в 45 градусов.

2. Если какие-то две из этих окружностей имеют только одну общую точку из числа шести точек пересечения (как S и Т имеют только одну общую точку А) – то они касаются в этой точке.

Возьмем окружность S и найдем три окружности, имеющие с ней по одной общей точке (из числа шести точек пересечения). S проходит через А, Е, D, Т – через А, С, F; Н – через F, D, B; К – через С, Е, В. Все эти четыре окружности и между собой имеют только по одной общей точке, и, по доказанному – касаются между собой. Оставшиеся 4 из восьми возможных окружностей также все касаются между собой, т.к. в этой четверке каждая окружность имеет с другой только по одной общей точке (из числа шести точек пересечения D1, D2, D3).

Заметим еще, что три ортогональные окружности D1, D2, D3 определяют коммутирующую с ними инверсию W. Эта инверсия отображает первую четверку окружностей во вторую, каждую окружность – в непересекающуюся с ней. Например окружность, проходящую через А, Е, D в окружность, проходящую через С F, B.

Мы показали, что шесть точек пересечения ортогональных окружностей есть шесть точек касания четырех взаимнокасающихся окружностей. Но мы не показали обратное. Возможно ли, что какие-то шесть точек касания четырех взаимнокасающихся окружностей – не есть точки пересечения каких-то трех взаимно ортогональных окружностей? Нет. Сейчас будет доказано, что все возможные шестерки точек касания любых четырех окружностей – «одинаковы», т.е. с помощью композиции инверсий можно любую шестерку точек касания четырех окружностей отобразить в любую другую шестерку точек касания других четырех окружностей.

Доказательство тривиально. В первой части статьи мы доказали, что три взаимно касающиеся окружности можно отобразить в любые другие три взаимно касающиеся окружности. Тогда четвертая, касающаяся трех исходных – перейдет в касающуюся их образов при этой композиции. Существует две окружности, касающиеся трех взаимно касающихся. Они симметричны, относительно окружности, проходящей через три точки касания.. Поэтому мы, при необходимости добавив инверсию относительно этой окружности можем отобразить четверку взаимно касающихся окружностей в любую другую четверку таких окружностей, с помощью композиции инверсий. (Сначала отображаем три окружности в три, а потом, если нужно, добавляем инверсию относительно окружности, проходящей через точки касания). При этом отображении шесть точек касания перейдут в шесть точек касания. что и требовалось.

Отсюда следует, что все шестерки точек касания «одинаковы» (или изоморфны, см. ст. 3), т.е. если какое-то свойство геометрии окружности есть у одной шестерки, то оно есть и у другой. Т.к., как было доказано, 6 точек пересечения трех взаимноортогональных окружностей – точки касания четырех окружностей, то их можно отобразить в точки касания других четырех окружностей. При композиции инверсий три исходные ортогональные окружности перейдут в три другие ортогональные окружности, на пересечении которых и лежат точки касания второй четверки взаимнокасающихся окружностей. итак мы доказали обратное: 6 точек касания четырех взаимно касающихся окружностей обязательно лежат на пересечении трех взаимноортогональных окружностей. Мы могли бы доказать это и другими, менее «абстрактными» способами. Но стоит обратить внимание на сам ход этого доказательства).

Чтобы еще лучше разобраться в устройстве этих шести точек – проведем какую-нибудь инверсию с центром в одной из точек пересечения, например в А. При этой инверсии, окружности, пересекающиеся в А перейдут в перпендикулярные прямые, третья окружность – в окружность с центром в точке пересечения этих прямых, А точка А – в бесконечно удаленную точку.

Рисунок 2.

(Две перпендикулярные прямые, окружность с центром в их точке пересечения, окружности, проходящие через две точки пересечения окружности с прямыми и центр окружности, прямые, проходящие через точки пересечения окружности и исходных прямых).