Геометрические выводы.

Пользуясь приведенными рассуждения, найдем единственный нетривиальный случай, когда искомой окружности О, касающейся трех данных А, В, С – не существует.

Это должно быть таким расположением окружностей А, В, С, что для всех случаев выбора биссектрис H и S (оставшаяся биссектриса между А и С выбирается автоматически, это та, которая лежит в пучке первых двух выбранных) композиция T*H*S – мнимая. Но как ее выбрать? Если она фактически не проведена на чертеже и мы не видим точек пересечения биссектрис. Для этого я воспользуюсь одним простым свойством: пусть три биссектрисы образуют пучок. Заменим первые две из них на вторые возможные биссектрисы. Тогда оставшаяся, третья биссектриса – будет лежать в одном пучке с замененными. А если мы заменим всего одну (или все три биссектрисы) – то получившиеся три биссектрисы не могут лежать в одном пучке. Свойство не трудно доказать, я не буду сейчас это делать. Обозначу это «правило замены» (!).

Обозначим Т1 и Т2 – две возможные биссектрисы между А и С, S1 и S2 – две возможные биссектрисы между А и В, Н1 и Н2 – между В и С. Если нам известен какой-то один случай, когда биссектрисы образуют пучок, то пользуясь только правилом (!) мы можем найти все остальные возможные случаи. Пусть, например, Т1, S1, Н1 – в одном пучке. Тогда, по (!) Т2, S2, Н1 – в одном пучке и Т2, S1, Н2 – в одном пучке, и T1, S2, H2 – в одном пучке. Т.е. любые две биссектрисы с индексом 2 (не входящие в первый пучок) и одна биссектриса с индексом 1 (входящая в первый пучок) – лежат в одном пучке. Если мы применим правило (!) к какой-то перечисленной тройке биссектрис, то получим уже перечисленный случай. Заметим, что точно также выбираются биссектрисы треугольника.

Прежде всего покажем, что если какие-то две окружности, например, В и С пересекаются, то, как бы не было расположена А (кроме того случая, когда А в одном пучке с В и С) – существует О, касающаяся А, В, С. Условие, что В и С пересекаются равносильно тому, что их биссектрисы Н1 и Н2 – обе действительны. Выберем из Т1 и Т2 и S1 и S2 – по одной действительной биссектрисе (одна действительная биссектриса есть между любыми окружностями). Какая бы из двух биссектрис Т1 или Т2 не лежала бы в пучке, образованном выбранными биссектрисами – она будет действительной. поэтому у нас имеются три действительные биссектрисы в одном пучке, их композиция действительна, следовательно, искомая окружность О существует.

Пусть все три А, В, С – не пересекаются. в этом случае между каждой парой окружностей – одна мнимая биссектриса и одна действительная. Пусть все действительные биссектрисы имеют индекс 1, а все мнимые – 2. Предположим, что все действительные биссектрисы – лежат в одном пучке. в этом случае: T1*S1*H1 – инволютивно и действительно. Тогда T2, S2, H1 – в одном пучке, и Т2, S1, Н2 – в одном пучке, и Т1, S2, Н2 – в одном пучке. Все четыре композиции T1*S1*H1, T2*S2*H1, T1*S2*H2 – действительны: в первой вообще нет мнимых инверсий, в остальных их по две. Каждая из четырех композиций дает нам свою высоту, опущенную на А и свою пару окружностей, касающихся А, В, С. Таким образом мы получили восемь окружностей, касающихся трех данных не имеющих общих точек А, В, С.

Предположим, что в одном пучке лежат две действительные биссектрисы и одна мнимая. Опять-таки, присвоим для удобства всем действительным биссектрисам индекс 1, а мнимым – 2. Пусть в одном пучке T1, H1, S2 тогда по (1) в одном пучке и T2, H2, S2; T2, H1, S1; T1, H2, S1. Мы видим, что в каждую композицию входят 3 или одна мнимая биссектриса, поэтому результат будет всегда получаться мнимым. Итак, мы нашли единственный случай, когда искомой О не существует. Теперь мы рассмотрим наглядно варианты построения О, касающихся трех окружностей А, В, С не имеющих общих точек.

1. Среди трех окружностей А, В, С одна разделяет две другие.

Рисунок 8.

(С разделяет окружности А и В).

в этом случае искомой О не существует. Из приведенных ранее рассуждений следует, что в случае такого расположения окружностей три действительные биссектрисы между А, В, С – не лежат в одном пучке.

2. Ни одна окружность из А, В, С – не разделяет двух других.

Рисунок 9.

(три окружности А, В, С и восемь касающихся их окружностей, ниже следует их описание).

В этом случае, как было доказано – существует 8 искомых окружностей, т.к. три действительные биссектрисы между окружностями – лежат в одном пучке. Эти восемь окружностей можно сгруппировать на пары окружностей, симметричных относительно I, окружности, ортогональной А, В, С: О1, О2; О3, О4; О5, О6; О7, О8. Заметим, что окружности в каждой паре одинаково расположены относительно А. В, С. О 1 и О2 – не разделяют окружности А, В, С; О3 и О4 – каждая разделяет А от В и С; О5 и О6 – разделяют В от А и С. О7 и О8 – разделяют С от А и В. Это свойство разделения можно вывести из того, что окружность, касающаяся двух данных и разделяющая их – ортогональна мнимой биссектрисе между ними. Поэтому, если все биссектрисы действительны – О1 и О2 не разделяют ни одной пары окружностей, а если только одна биссектриса действительна, то общая касающаяся окружность не разделяет ту пару, биссектриса между которыми действительна.

Теперь подсчитаем число искомых окружностей в случае, когда среди А, В и С есть пересекающиеся окружности. Пусть только В и С пересекаются, тогда Н1 и Н2 – обе действительные, Т1 и S1 – действительные, Т2 и S2 – обе мнимые. Пусть T1, S1, H1 – в одном пучке. Тогда T2, S2, H1 – в одном пучке, T1, S2, H2 – в одном пучке, T2, S1, H2 – в одном пучке.

В третьем и четвертом случае в композиции есть ровно одна мнимая биссектриса, поэтому сама композиция будет мнимой инверсией и не задаст никаких касающихся окружностей. в двух других случаях композиция будет действительна и всего мы получаем 2х2 окружностей, касающихся данных. Заметим, что как было показано ранее, при паре пересекающихся окружностей всегда есть вариант, что действительные биссектрисы лежат в одном пучке, поэтому другие комбинации нам рассматривать не надо. Пусть теперь кроме В и С пересекаются А и В. Значит – S1 и S2 – обе действительны, как и H1 и Н2. Т1 – пусть действительна, Т2 – мнимая. Пусть Т1, S1, Н1 – в одном пучке. Легко убедиться, что мнимая композиция получается только в двух вариантах: T2, S1, H2 и T2, S2, H1. Остальные две действительны и задают 2х2=4 искомых окружностей. Вариант, когда, T2, S1, H1 в одном пучке аналогичен предыдущему, отличаясь только нумерацией биссектрис S и H, что не имеет значения, т.к. обе действительны.

Если же все три окружности А, В, С пересекаются между собой, то все биссектрисы между ними будут действительны и значит все композиции будут действительны и потому существует 8 вариантов расположения О, касающихся А, В, С. См. ст. 1.

Прежде, чем завершить рассмотрение задачи Аполлония, являющейся на мой взгляд отличным полигоном для идей и методов геометрии окружности, я восполню два пробела. Первый – я не рассматривал случаев, когда среди А, В и С есть касающиеся друг друга. В этом случае есть вариант, когда существует 6 окружностей, касающихся А, В, С. (и, как мы видели – когда всего две).

Второй – я не показал, что любое сочетание действительных и мнимых биссектрис, лежащих в одном пучке – возможно, т.е. что существуют А, В, С, для которых данные T, H, S будут биссектрисами.

Докажем, что каковы бы не были инверсии T, H, S, если T*H*S – снова инверсия, то существуют окружности А, В, С, такие, что T, H, S – биссектрисы между ними. Пусть T*H*S=F. Выберем какую-то окружность А, ортогональную F, F(A)=A. Пусть S(A)=B, H(B)=C. Т.к. F(A)=T(H(S(A)))=A по выбору А, то Т(С)=А. Мы нашли три окружности А, В, С такие, что произвольные, лежащие в одном пучке T, H, S – являются биссектрисами этих окружностей. что и требовалось.

Также напомню, что мы предполагали, что А, В, С – не лежат в одном пучке.