Плоскость в пространстве.

Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение

.

Вектор называется нормальным вектором плоскости. Если даны две плоскости с нормальными векторами и , то косинус угла между этими плоскостями определяется по формуле (этот угол всегда острый или прямой)

.

Если даны три точки , и , то уравнение плоскости, проходящей через три точки находится по формуле:

.

Задание 1. По координатам вершины пирамиды найти:

1. длину ребер и ;

2. угол между ребрами и ;

3. площадь грани ;

4. объем пирамиды ;

5. уравнение прямых ; ;

6. уравнения плоскостей и ;

7. угол между плоскостями и .

Пример. Выполнить задание 1, если , , , .

1) Если заданы точки , , и то координаты векторов , и их длины , равны:

а) ,

.

б) ,

.

2) Угол между ребрами и находим как угол между векторами и . Из определения скалярного произведения следует, что этот угол вычисляется по формуле:

.

Скалярное произведение находим через декартовы координаты:

.

Тогда

.

Откуда (вычисления проводим на инженерном калькуляторе)

3) ‑ площадь треугольника, построенного на векторах и . Зная их декартовы координаты, находим векторное произведение

,

, , .

Тогда

.

4) Учитывая геометрический смысл смешанного произведения векторов, получим формулу для вычисления объема пирамиды:

.

Найдем координаты вектора :

Смешанное произведение этих векторов найдем через их декартовы координаты

.

Отсюда

.

5) Найдем канонические уравнение прямых и . За направляющие вектора примем вектора и . За точку лежащую на этих векторах примем точку

прямая : ;

прямая : .

6) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и находится по формуле:

.

Составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

или .

Разложив определить по первой строке, получим

.

Итак, уравнение плоскости найдено . Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор .

Аналогично составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

или .

Разложив определить по первой строке, получим

.

Итак, уравнение плоскости имеет вид . Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор .

7) Угол , образованный двумя плоскостями и находится по формуле

, где и ‑ нормали плоскостей и .

Подставляя их значения из пункта 6) находим величину угла (расчеты выполняем на инженерном калькуляторе)