Пример.

а) Составим и вычислим главный и вспомогательные определители системы:

,

,

,

.

Находим по правилу Крамера решение системы

.

б) Составим матрицу коэффициентов системы и столбец правых частей

,

и найдем обратную матрицу по формуле:

,

где и ‑ соответственно алгебраические дополнения и миноры, связанные между собой соотношением , а - определитель матрицы , вычисленный в пункте а). Найдем миноры:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Составим теперь обратную матрицу

и найдем столбец неизвестных по формуле :

.

Отсюда .

Задание №3. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

При вычислении предела дробно-рациональной функции при числитель и знаменатель дроби — величины бесконечно большие, т.е. получаем выражение которое представляет собой неопределённость. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень .

Пример 1. .

Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на :

.

(при слагаемые — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

В том случае, когда при вычислении предела дробно-рациональной функции при числитель и знаменатель имеют предел, равный нулю, т.е. имеем неопределенность , надо разделить их на и перейти к пределу. Если после деления окажется, что при числитель и знаменатель снова имеют пределы, равные нулю, то надо произвести повторное деление на .

Пример 2. .

Данный предел имеет неопределенность вида , так как числитель и знаменатель при стремятся к 0. Разложим квадратные трёхчлены в числителе и знаменателе рациональной дроби на линейные множители по формуле , где и — корни квадратного трёхчлена

.

Сократив рациональную дробь на , получим:

.

При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется первый замечательный предел

и его следствия:

.

Пример 3. .

Преобразовав разность косинусов в произведение, получим

.

Если в пределе встречается неопределенность , то используется второй замечательный предел или .

Пример 4. .

Выполнив преобразования и применив второй замечательный предел, найдём

.

Пример 5. .

Выполнив преобразования и применив формулу , найдём

.

Задание №4. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции и определить их тип.

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Это равенство означает выполнение трех условий:

1) функция определена в точке х₀ и ее окрестности;

2) функция имеет предел при ;

3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке

Если в точке не выполняется по крайней мере одно из условий определения непрерывности функции, то такая точка называется точкой разрыва. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и .

При этом:

1) если , то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

2) если , то х₀ называется точкой конечного разрыва, а величину называют скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.