Пример. Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

1) .

.

2) .

.

3) Найти .

Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле: .

; .

Тогда .

Задание №6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции , проведенных в данной точке .

Приведем уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке

,

и уравнение нормали к этой касательной

.

Пример.

Для функции в точке с абсциссой составить уравнение касательной и уравнение нормали.

1) Найдем значение функции .

2) Найдем значение :

, .

3) Составим уравнения касательной и нормали:

– искомое уравнение касательной;

– искомое уравнение нормали.

Задание №7. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя.

Напомним правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида и :

Пусть и – функции, имеющие производные в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть при стремлении обе эти функции стремятся одновременно к нулю или к бесконечности. Тогда, если существует предел отношения их производных при , то существует и предел отношения самих функций при , причем оба эти пределы равны:

.

Замечания:

1) Правило Лопиталя остается справедливым и в том случае, если и или при или при .

2) Если опять дает неопределенность вида или , то правило Лопиталя следует применить еще раз.

Примеры:

1) .

2) .

3) .

Задание №8. Построить график функции , используя общую схему исследования функций.

Общая схема исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить тип функции (четность, нечетность).

3. Найти точки пересечения с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

4. Найти асимптоты графика функции:

а) вертикальные; б) невертикальные (наклонные).

5. Найти точки возможного экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

6. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции.

7. Построить график функции, учитывая проведенные исследования.

Пример. Построить график функции .

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме (в этом случае знаменатель равен нулю).

2. Для определения типа функции найдем значение

.

Следовательно, функция не является ни четной ни нечетной.

3. Так как уравнение не имеет действительных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью ОХ, но пересекает ось ОУ в точке .

Определим интервалы знакопостоянства функции:

.

.

4. Найдем асимптоты графика функции.

а) Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва :

, .

Следовательно прямая является вертикальной асимптотой.

б). Определим существование наклонной асимптоты:

,

.

Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту при .

5. Для нахождения точек возможного экстремума найдем производную функции:

.

Приравняем . Решая уравнение , находим корни производной и .

Исследуем знак производной. Для чего решим неравенство

Находим знаки на промежутках, учитывая корни и квадратного трехчлена :

, ; , ;

, ; ; .

Следовательно, функция возрастает на промежутках

и ,

и убывает на промежутках

и .

По изменению знака получаем точки локальных экстремумов:

, ,

, .

6. Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости, вогнутости найдем вторую производную функции:

.

Так как в нуль не обращается, то точек перегиба у функции нет.

Исследуем знак второй производной, решая неравенство :

при и при .

Следовательно, на интервале график направлен выпуклостью вверх (выпуклый), а на интервале – выпуклостью вниз (вогнутый).

По результатам исследования строим график функции .

Рис.1 Построение графика функции .

Задание №9. Найти неопределенные интегралы.

Пример. Найти неопределенные интегралы.

а) .

Применим подстановку . Тогда , откуда .

Таким образом,

б) .

Применим формулу интегрирования по частям . Пусть

, , тогда , .

Тогда

.

К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям. Пусть

, , ,

Таким образом,

.

в)

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой

.

Подынтегральную функцию разложим на дроби

,

откуда

.

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при в левой и правой частях последнего равенства получим систему трех уравнений:

Таким образом,

,

.

Вычислим отдельно интеграл . Используя равенства

,

получаем

.

Отсюда окончательно вычисляем интеграл

.

г) .

Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому выполним подстановку , , тогда

.