![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Колебательный контур
Неразрывная связь между электрическими и магнитными явлениями заключается в том, что любое изменение электрического поля порождает вихревое магнитное поле, а любое изменение магнитного поля приводит в свою очередь к появлению вихревого электрического поля. По этой причине электрические и магнитные колебания могут существовать только совместно, и такие колебания называют электромагнитными колебаниями. При электромагнитных колебаниях периодически изменяющимися величинами являются параметры электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний используют колебательный контур – цепь, состоящую из последовательно включенных катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С (см. рисунок 54). Электромагнитные колебания, происходящие в колебательном контуре за счет первоначально сообщенной этому контуру энергии, которая в дальнейшем не пополняется, называют свободными (собственными) электромагнитными колебаниями. Собственные электромагнитные колебания происходят под действием процессов, происходящих в самом колебательном контуре. Если пренебречь сопротивлением проводов катушки индуктивности (R» 0), то можно пренебречь потерями на выделение тепла Джоуля-Ленца. Если к тому же не учитывать незначительные потери энергии на излучение электромагнитных волн в окружающее пространство, то мы имеем незатухающие электромагнитные колебания в контуре.
Когда конденсатор начинает разряжаться, напряжение на нем и напряженность электрического поля между обкладками будут уменьшаться. Из-за возникшего в контуре электрического тока разряда конденсатора в катушке индуктивности появится магнитное поле. При этом согласно правилу Ленца в катушке возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая мгновенному нарастанию этого тока. Через время, равное четверти периода колебаний (t = В интервале времени от В интервале времени от В интервале времени от После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. При отсутствии энергетических потерь процесс взаимных периодических превращений энергий электрического поля и магнитного поля будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электромагнитные колебания. При этом в контуре периодически изменяются (колеблются) заряд q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Для получения уравнения колебаний заряда q в контуре вначале положим, что контур обладает активным сопротивлением R. Тогда согласно закону Ома
UR + UC = E,
где UR = IR – напряжение на сопротивлении, UC = E = - L Е – ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке. Итак,
IR +
откуда, поделив все слагаемые на L, имеем:
q ¢ ¢ +
Поскольку в колебательном контуре внешние ЭДС отсутствуют, то рассмотренные электромагнитные колебания представляют собой свободные колебания. Если сопротивление контура R = 0, то уравнение (45.1) примет вид:
q ¢ ¢ +
или, обозначая w0 =
q ¢ ¢ + w02q = 0. (45.3)
Уравнение (45.3) представляет собой дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре, которое, как легко проверить подстановкой, имеет решение: q (t) = q 0cos(w0t + a), (45.4)
где q 0 – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора, w0 - циклическая частота колебаний (собственная частота контура), a - начальная фаза. Период свободных колебаний в идеальном контуре (т.е. при R = 0) равен:
Т =
Формула (45.5) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона. Частота колебаний n =
В выражении (45.4) значения амплитуды колебаний заряда q 0 и начальной фазы a определяют из начальных условий, т.е. значениями силы тока I(0) и заряда q (0) (или напряжения U(0) = q (0)/С) в момент времени t = 0. Напряжение на обкладках конденсатора равно:
UC = U(t) =
где U0 = Сравнивая выражения (45.4) (45.7) убеждаемся, что заряд q (t) и напряжение U(t) колеблются в фазе друг с другом. Сила тока в колебательном контуре равна:
I(t) = I = q ¢ t = - w0 q 0sin(w0t + a) = I0cos(w0t + a +
где I0 = w0 q 0, - амплитуда силы тока. Сопоставляя выражения (45.4) и (45.8) заключаем, что колебания тока опережает по фазе колебания заряда на Уравнения (45.4), (45.7), (45.8) для a = 0 записываются так:
q (t) = q 0cosw0t, UC(t) = U0cosw0t, I(t) = I0cos(w0t +
Если в формуле Томсона Т = 2p Из закона сохранения энергии следует, что в идеальном контуре (R = 0) максимальные значения энергии электрического и магнитного полей равны, т.е.
откуда с учетом того, что I0 = w0 q 0, опять приходим к результату
w02 =
Для произвольного момента времени энергии электрического поля и магнитного поля равны, соответственно:
Wэл(t) =
=
Wм(t) =
=
Из уравнений (45.11) и (45.12) следует, что энергии электрического поля и магнитного поля в контуре изменяются с частотой, в два раза превышающей частоту гармонических электрических колебаний (заряда, силы тока, напряжения) в контуре. Полная энергия W контура складывается из энергий электрического и магнитного полей и равна максимальному значению энергии электрического или магнитного поля: W = Wэл(t) + Wм(t) =
Полная энергия W остается постоянной, т. е. неизменной со временем. Уравнения колебаний энергий электрического поля Wэл(t) и магнитного поля Wм(t), т.е. выражения (45.11) и (45.12), для a=0 с учетом соотношения (45.13) для полной энергии W принимают вид:
Wэл(t) =
и графики этих зависимостей Wэл(t) и Wм(t) представлены на рисунке 56.
Как видно из графиков энергии Wэл(t) и Wм(t) совершают гармонические колебания в противофазе по отношению друг другу около равновесного положения
|