Получение десятичных дробей

Перед введением понятия десятичная дробь актуализируются знания нумерации целых чисел, свойств десятичной системы счисления, единиц измерения величин в метрической системе мер и соотношений мер длины, стоимости, массы.

Знакомство с получением десятичной дроби осуществляется на основе использования знаний о соотношении единиц измерения длины. Наглядным пособием является метр, разделенный на дециметры, сантиметры и миллиметры.

Учащимся предлагается рассмотреть демонстрационный метр и разделить его на дециметры. Школьники вспоминают, что в 1 м содержится 10 дм.

Предлагается установить, какую часть метра составляет 1 дм.

1м = 10 дм, 1 дм = м.

Аналогично выражаются в метрах 1 см, 1 мм и в километрах 1 м:

1 м = 100 см, 1 см = м;

1 м = 1000 мм, 1 мм = м;

1 км = 1000 м, 1 м = км.

Для того, чтобы у учащихся не сформировалось стандартное представление о том, что в числителе десятичных дробей всегда содержится единица, следует приводить другие примеры:

3 дм = м, 53 см = м, 17 мм = м.

Далее рассматривается соотношение единиц измерения стоимости. Учащимся предлагается выразить 1 копейку в рублях:

1 р. = 100 к., 1 к. = р., 35 к. = р. и т.д.

Затем школьники вспоминают соотношение единиц измерения массы:

1 кг = 1000 г, 1 г = кг, 245 г = кг;

1 ц = 100 кг, 1 кг = ц, 5 кг = ц;

1 т = 1000 кг, 1 кг = т, 23 кг = т.

Далее все получившиеся дроби выписываются на доске без наименований:

, , , , , , , , , .

Учащимся предлагается рассмотреть все дроби и выделить их общий признак. Устанавливается, что знаменатели этих дробей представляют собой единицу с одним или несколькими нулями (10, 100, 1000). Формулируется определение десятичной дроби:

Дробь, у которой знаменатель – единица с одним или несколькими нулями, называется десятичной дробью.

Школьникам предлагается записать несколько дробей под диктовку и объяснить, как они получились:

, , , , , , , , и т.д.

Учащиеся называют каждую дробь и рассказывают, как она получилась. Выявляется общность в получении обыкновенных и десятичных дробей: целое (единица) делится на определенное количество равных частей (при получении десятичных дробей - на 10, 100, 1000) и берется одна или несколько таких частей. Следует сопровождать рассказ показом получения дробей при помощи кругов, полос, отрезков.

Например: дробь получится, если целый предмет (например, полоску) разделить на 10 равных частей и взять 3 такие части.

Далее из ряда предложенных дробей предлагается выписать только десятичные дроби и сформулировать еще раз определение.

Внимание учащихся обращается на то, что десятичные дроби получаются и в результате измерений. Решается практическая задача:

- Измерьте длину ленты. Чему она равна?

- Длина ленты 40 см. Какую часть метра она составляет?

- 40 см = м.

- Сколько дм составляет длина ленты? (4 дм)

- Какая это часть метра? (4 дм = м).

- Как называются дроби и ? (десятичные).

Запись десятичных дробей тесно связана с записью целых чисел и опирается на знания свойств десятичной системы счисления. Учащимся сообщается, что запись десятичных дробей в виде обыкновенных не очень удобна и громоздка, поэтому существует особая запись этих чисел.

Перед введением правила записи десятичных дробей актуализируются знания нумерации целых чисел и поместного значения цифр в числе. Для этого используется разрядная таблица. В ней отчетливо видно, что каждая цифра в числе 111 занимает определенное место и в соответствии с этим обозначает соответствующий разряд: цифра 1, стоящая на первом месте справа обозначает одну единицу, вторая справа – один десяток и третья справа – одну сотню.

Школьники вспоминают, что каждая цифра, стоящая слева от данной, обозначает единицу, которая в 10 раз больше данной и наоборот: единицы разряда справа в 10 раз меньше единиц разряда, находящегося слева. То есть, если разрядную единицу переместить слева направо, то она уменьшится в 10 раз: если 1 сотню уменьшить в 10 раз, то мы получим 1 десяток, если 1 десяток уменьшить в 10 раз, то мы получим 1 единицу.

Таблицу предлагается продолжить вправо и уменьшить 1 единицу в 10 раз. Получится одна десятая доля единицы. Справа от разряда единиц записывается цифра 1, которая обозначает число, в 10 раз меньше, чем единица. Вводится название нового разряда – десятые.

Далее одну десятую предлагается уменьшить в 10 раз и справа от 1 десятой записать 1. Устанавливается, что она в 10 раз меньше 1 десятой и в 100 раз меньше 1единицы, поэтому она называется одной сотой долей единицы. Записывается название нового разряда – сотые. Аналогично рассматривается получение тысячных долей. Затем все новые разряды называются долями целых или десятичными долями.

Таким образом, определяется место десятичных долей в таблице классов и разрядов. Внимание учащихся обращается на отделение целых чисел от десятичных долей в таблице чертой. На письме черта не ставится. Она заменяется запятой. То есть целая часть отделяется от дробной части запятой – 111, 1. Вводится чтение десятичных дробей: сто одиннадцать целых одна десятая; 111, 11 -… Если в числе отсутствуют целые, то вместо них пишется 0, он отделяется запятой, а далее записывается дробная часть – доли целых. Например: 0, 14.

Учащиеся должны понимать не только место целого и долей, но и видеть компоненты дроби – числитель и знаменатель. Поэтому следует объяснить, что после запятой записывается числитель дроби, причем так, чтобы количество цифр в числителе соответствовало числу нулей в знаменателе дроби. Сам знаменатель не пишется, но мы можем его назвать. Подобные объяснения подкрепляются упражнениями: десятичные дроби, записанные в виде обыкновенных, заменяются дробями, записанными при помощи запятой. При этом проводится сравнение чтения обыкновенных и десятичных дробей.

Обыкновенные дроби		Десятичные дроби
Запись	Чтение	Запись	Чтение
	пять десятых	0, 5	Нуль целых, пять десятых
	Три целых, пять десятых	3, 5	Три целых, пять десятых

Для учащихся особые трудности представляют случаи чтения и записи десятичных дробей, в которых имеет место отсутствие разрядных долей: 2, 05; 13, 006 и т.д.

Эти случаи отрабатываются особенно тщательно и предлагаются лишь после усвоения образования и чтения дробей с наличием всех разрядных единиц. Внимание учащихся акцентируется на том, что после запятой должно быть столько цифр, сколько нулей содержится в знаменателе дроби. Например, чтобы записать две целых 6 тысячных, надо проанализировать знаменатель. Знаменатель 1000 содержит три нуля, значит после запятой должно быть три знака. Произносится же только один знак (число 6), поэтому сразу после запятой надо записать два нуля – 2, 006.

На эту же особенность десятичных дробей следует обратить внимание при их чтении. Чтобы не возникало трудностей при назывании знаменателя, следует показать учащимся, что надо подсчитывать количество знаков после запятой. Например, в числе 3, 15 после запятой стоит две цифры, значит знаменатель этой дроби – единица с двумя нулями, то есть сто. Поэтому при чтении надо добавит слово «сотых»: три целых пятнадцать сотых.

Сравнение десятичных дробей (7 класс)

Перед изучением сравнения десятичных дробей повторяется сравнение целых чисел и обыкновенных дробей.

Обучение сравнению десятичных дробей начинается со сравнения дробей со знаменателем 10. Школьникам предлагается сравнить 0, 7 и 0, 4. Работа осуществляется с использованием метра, разделенного на дециметры.

Учащиеся вспоминают соотношение:

1 м = 10 дм, следовательно 1 дм = 0, 1 м или 0, 1 м = 1 дм. Поэтому:

0, 7 м = 7 дм, 0, 4 м = 4 дм.

Школьники при помощи метра устанавливают, что 7 дм > 4 дм, значит 0, 7 м > 0, 4 м, то есть 0, 7 > 0, 4.

Затем сравнение дробей следует проиллюстрировать на полоске или отрезке: 0, 4 0, 4

0, 7 0, 7

Десятичные дроби предлагается записать со знаменателями, т.е. в виде обыкновенных и сравнить их (правило сравнения обыкновенных дробей учащимся знакомо):

> , ⇒ 0, 7 > 0, 4.

Обращается внимание на отсутствие целых частей в записи как обыкновенных, так и десятичных дробей. Следовательно, сравнивать надо дробные части, а именно - числители обыкновенных дробей: 7> 4. Таким образом, > . В десятичных дробях сравниваются между собой десятые доли: 7 десятых больше 4 десятых, поэтому и дробь 0, 7> 0, 4.

Далее рассматривается несколько примеров сравнения пар десятичных дробей на наглядной основе (0, 5 и 0, 2; 1, 4 и 2, 4, 17, 9 и 17, 5 и т.д.). Учащиеся подводятся к правилу: из сравниваемых дробей та дробь больше, у которой число целых больше; если же целые равны, то сравниваются десятые доли, и тогда та дробь больше, у которой число десятых долей больше.

Аналогично вводится сравнение десятичных дробей со знаменателями 100 и 1000. Наглядными пособиями служат метр, разделенный на сантиметры (0, 12 м и 0, 15 м) и миллиметры и квадрат, разделенный на 100 клеток.

По окончании работы формулируется обобщенное правило.

После того, как дети научились сравнивать десятичные дроби с одинаковыми знаменателями, предлагается сравнить дроби с разными знаменателями (0, 8 и 0, 25; 0, 06 и 0, 342; 4, 2 и 3, 71 и т.д.). В случае затруднений сравнение следует проводить с использованием наглядных пособий - отрезков и квадратов, приводить дроби к общему знаменателю (см ниже), а также опираться на соотношение единиц измерения длины, стоимости, массы.

Учащихся следует подвести к тому, что существуют равные десятичные дроби, имеющие различное написание: 0, 5 и 0, 50. Равенство этих дробей иллюстрируется при помощи метра, разделенного на дециметры и сантиметры, или квадрата, разделенного на 100 клеток.

0, 5 м = 5 дм

0, 50 м = 50 см = 5 дм 5 дм = 5 дм, ⇒ 0, 5 м= 0, 50 м,

т.е. 0, 5 = 0, 50

0, 5 0, 50

1 полоса – 0, 1 1 клетка – 0, 01

При помощи упражнений закрепляется, что сотые доли могут быть выражены в десятых долях и наоборот:

- Сколько десятых долей в 1 м? 10 десятых

- Чему равна одна десятая доля метра? 0, 1 м

- Сколько это составляет сантиметров? (10 см)

- Сколько сотых долей в метре? 100 сотых

- Чему равны 10 сотых долей метра? 0, 10 м

- Сколько это составляет сантиметров? (10 см)

- Какой вывод можно сделать? 0, 1 м = 0, 10 м

0, 1 = 0, 10

- Чему равны 6 десятых метра? 0, 6 м (60 см)

- Чему равны 60 сотых метра? 0, 60 м (60 см)

- Какой вывод можно сделать? 0, 6 м = 0, 60 м

0, 6 = 0, 60

- Сколько десятых в 0, 1; в 0, 10?

- Сколько десятых в 0, 7; в 0, 70?

Сравнение сотых и тысячных, десятых и тысячных долей проводится аналогично.