Задача 3.

3.а) Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации V_s в соответствии с оценочной шкалой колеблемости признака.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_s =17, 06

Для признака Выпуск продукции показатель V_s =21, 75

Вывод: по значению коэффициента вариации можно определить, что степень колеблемости признаков среднегодовая стоимость основных производственных фондов и выпуск продукции является незначительной и составляет для 1-го признака 17, 06%, для второго – 21, 75%.

3.б) Однородность совокупности по изучаемому признакудля нормального и близких к нормальному распределений устанавливается по значению коэффициента вариации V. Если его значение невелико (V_s< 33%), то индивидуальные значения признака x_i мало отличаются друг от друга, единицы наблюдения количественно однородны.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_s =17, 06

Для признака Выпуск продукции показатель V_s =21, 75

Вывод: индивидуальные значения признака x_i мало отличаются друг от друга, следовательно, единицы наблюдения количественно однородны.

3.в). Сопоставление средних отклонений – квадратического s и линейного позволяет сделать вывод об устойчивости индивидуальных значений признака, т.е. об отсутствии среди них «аномальных» вариантов значений.

В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределений между показателями s и имеют место равенства s 1, 25 , 0, 8s, поэтому отношение показателей и s может служить индикатором устойчивостиданных.

Если > 0, 8, то значения признака неустойчивы, в них имеются «аномальные» выбросы. Следовательно, несмотря на визуальное обнаружение и исключение нетипичных единиц наблюдений при выполнении Задания 1, некоторые аномалии в первичных данных продолжают сохраняться. В этом случае их следует выявить (например, путем поиска значений, выходящих за границы ( )) и рассматривать в качестве возможных «кандидатов» на исключение из выборки.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель =0, 791

Для признака Выпуск продукции показатель =0, 7574

Вывод: значения признаков среднегодовая стоимость основных производственных фондов и выпуск продукции устойчивы.

3г) Для оценки количества попаданий индивидуальных значений признаков x_i в тот или иной диапазон отклонения от средней , а также для установления процентного соотношения рассеяния значений x_i по 3-м диапазонам необходимо сформировать табл.9 (с конкретными числовыми значениями границ диапазонов).

Таблица 9

Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно

	Границы диапазонов	Количество значений xi, находящихся в диапазоне	Процентное соотношение рассеяния значений xi по диапазонам, %
	Первый признак	Второй признак	Первый признак	Второй признак	Первый признак	Второй признак
	[2361, 31; 2518, 69]	[2188, 71; 2376, 44]			13, 3	23, 3
	[2278, 87; 2601, 11]	[2090, 39; 2474, 78]			36, 7
	[2189, 66.; 2690, 34]	[1983, 95; 2581, 22]				46, 7

На основе данных табл.9 сопоставить процентное соотношение рассеяния значений признака по трем диапазонам с рассеянием по правилу «трех сигм», справедливому для нормальных и близких к нему распределений:

68, 3% располагаются в диапазоне ()

95, 4% располагаются в диапазоне ()

99, 7% располагаются в диапазоне ()

Если полученное в табл. 9 процентное соотношение рассеяния х_­i по 3-м диапазонам незначительно расходится с правилом «3-х сигм», можно предположить, что изучаемое распределение признака близко к нормальному.

Расхождение с правилом «3-х сигм» может быть существенным. Например, менее 60% значений х_i попадают в центральный диапазон () или значительно более 5% значения х_i выходит за диапазон (). В этих случаях распределение нельзя считать близким к нормальному.

Вывод: Распределение нельзя считать близким к нормальному по правилу «трех сигм», т.к. в центральный диапазон () попадают менее 60% значений х_i (13, 3% 1-й признак, 23, 3% – 2-й), также значительно больше значений х_i выходит за диапазон ().

Задача 4. Для ответа на вопросы 4а) – 4г) необходимо воспользоваться табл.8 и сравнить величины показателей для двух признаков.

Для сравнения вариации признаков применяется коэффициент вариации

4 а) Для сравнения колеблемости значений признаков, используется коэффициент вариации (когда сравнивается вариация признаков, имеющие разные средние ).

Вывод: Так как V_s по первому признаку меньше V_s по второму признаку, то колеблемость значений первого признака меньше колеблемости значений второго признака.

4 б) Сравнение количественной однородности единиц.

Чем меньше значение коэффициента вариации V_s, тем более однородна совокупность.

Вывод: значение коэффициента вариации V_s для признака среднегодовая стоимость основных производственных фондов составляет 17, 06%, для признака выпуск продукции – 21, 75%.коэффициенты достаточно низкие, следовательно, совокупность признаков достаточно однородная.

4 в) Сравнение надежности (типичности) средних значений признаков.

Чем более однородна совокупность, тем надежнее среднее значение признака

Вывод: среднее значение признака достаточно надежное.

4 г) Сравнение симметричности распределений в центральной части ряда.

В нормальных и близких к нему распределениях основная масса единиц (63, 8%) располагается в центральной части ряда, в диапазоне (). Для оценки асимметрии распределения в этом центральном диапазоне служит коэффициент К.Пирсона – Asп.

При правосторонней асимметрии Asп > 0, при левосторонней Asп < 0. Если Asп =0, вариационный ряд симметричен.

Вывод: Асимметрия распределения признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в центральной части ряда является левосторонней, так как Asп= -0, 21 Асимметрия признака Выпуск продукции является правосторонней, так как Asп=0, 02. Сравнение абсолютных величин |Аsп| для обоих рядов показывает, что ряд распределения признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов более асимметричен, чем ряд распределения признака Выпуск продукции.

Задача 5. Интервальный вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов представлен в табл.7., а гистограмма и кумулята - на рис.2.

Возможность отнесения распределения признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» к семейству нормальных распределений устанавливается путем анализа формы гистограммы распределения - количества вершин в гистограмме, ее асимметричности и выраженности «хвостов», т.е. частоты появления значений, выходящих за диапазон ().

1. При анализе формы гистограммы прежде всего следует оценить распределение вариантов признака по интервалам (группам). Если на гистограмме четко прослеживаются два-три «горба» частот вариантов, это говорит о том, что значения признака концентрируются сразу в нескольких интервалах, что не соответствует нормальному закону распределения.

Если гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному.

Заключение по п.1: гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность имеет характер распределения, близкий к нормальному.

2. Для дальнейшего анализа формы распределения используются описательные параметры выборки - показатели центра распределения (, Mo, Me), вариации (), асимметрии в центральной части распределения (Asn), - совокупность которых позволяет дать качественную оценку близости эмпирических данных к нормальной форме распределения.

Нормальное распределение является симметричным, и для него выполняется соотношения:

=Mo=Me, As_п=0, R_n=6s_n.

Нарушение этих соотношений свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Распределение с небольшой или умеренной асимметрией в большинстве случаев по своему типу относится к нормальному.

Заключение по п.2 Данное соотношение имеет незначительные нарушения с умеренной асимметрией, что в принципе можно отнести к нормальному распределению.

3. В нормальном и близким к нему распределениях крайние варианты значения признака (близкие к хminи хmax) встречаются много реже (5-7 % всех случаев), чем серединные (лежащие в диапазоне ()). Следовательно, по проценту выхода значений признака за пределы диапазона () можно судить о соответствии длины «хвостов» распределения нормальному закону.

Заключение по п 3 По проценту выхода «хвостов» (63, 3%) можно судить о том, что данное распределение не является нормальным.

Вывод Гистограмма является одновершинной, существенно асимметричной), “хвосты” распределения являются длинными, т.к. 63, 3% вариантов лежат за пределами интервала (), следовательно, отнесение распределения признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» к семейству нормальных распределений не является возможным.

II. Статистический анализ генеральной совокупности

Задача 1. Рассчитанные генеральные показатели представлены в табл.10.

Таблица 10

Описательные статистики генеральной совокупности

Обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам	Признаки
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов	Выпуск продукции
Стандартное отклонение	416, 17	496, 45
Дисперсия	185344, 96	263754, 06
Асимметричность As	-0, 15	0, 04
Эксцесс Ek	-0, 34	-0, 21
Ожидаемый размах вариации признаков RN	2497, 02	2978, 70

Величина дисперсии генеральной совокупности может быть оценена непосредственно по выборочной дисперсии .

В математической статистике доказано, что при малом числе наблюдений (особенно при n 40-50)для вычисления генеральной дисперсии по выборочной дисперсии следует использовать формулу

При достаточно больших n значение поправочного коэффициента близко к единице (при n=100его значение равно 1, 101, а при n=500- 1, 002 и т.д.). Поэтому при достаточно больших n можно приближено считать, что обе дисперсии совпадают:

_.

Рассчитаем отношение для двух признаков:

Для первого признака =1, 03 Для второго признака =1, 03.

Вывод: Степень расхождения между признаками оценивается величиной 0, следовательно, эти признаки тесно связаны.

Для нормального распределения справедливо равенство R_N=6s_N.

В условиях близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному это соотношение используется для прогнозной оценки размаха вариации признака в генеральной совокупности.

Ожидаемый размах вариации признаков R_N:

- для первого признака R_N =2497, 02

- для второго признака R_N =2978, 70

Величинарасхождения между показателями: R_N и R_n:

- для первого признака |R_N -R_n| =747, 02

- для второго признака |R_N -R_n| =878, 7

Задача 2. Применение выборочного метода наблюдения связано с измерением степени достоверности статистических характеристик генеральной совокупности, полученных по результатам выборочного наблюдения. Достоверность генеральных параметров зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности.

Как правило, статистические характеристики выборочной и генеральной совокупностей не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки(ошибкой репрезентативности). Ошибка выборки – это разность между значением показателя, который был получен по выборке, и генеральным значением этого показателя. Например, разность

= | - |

определяет ошибку репрезентативности для средней величины признака.

Для среднего значения признака средняя ошибка выборки (ее называют также стандартной ошибкой) выражает среднее квадратическое отклонение s выборочной средней от математического ожидания M[ ] генеральной средней .

=77, 28

- для признака Выпуск продукции

= 92, 18

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых лежит генеральная средняя . Эти границы задают так называемый доверительный интервал генеральной средней – случайную область значений, которая с вероятностью P, близкой к 1, гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность называют доверительной вероятностью или уровнем надежности.

Для уровней надежности P=0, 954; P=0, 997; P=0, 683 оценки предельных ошибок выборки даны в табл. 3, табл. 4а и табл. 4б.

Для генеральной средней предельные значения и доверительные интервалы определяются выражениями:

,

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних представлены в табл. 11.

Таблица 11

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних

Доверительная вероятность Р	Коэффициент доверия t	Предельные ошибки выборки	Ожидаемые границы для средних
для первого признака	для второго признака	для первого признака	для второго признака
0, 683		78, 69	93, 87	2361, 31 2518, 69	2188, 71 2376, 44
0, 954		161, 11	192, 20	2278, 87 2601, 11	2090, 39 2474, 78
0, 997		250, 34	298, 64	2189, 66 2690, 34	1983, 95 2581, 22

Задача 3 Значения коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ek даны в табл.10.

Показатель асимметрии As оценивает смещение ряда распределения влево или вправо по отношению к оси симметрии нормального распределения.

Если асимметрия правосторонняя (As > 0) то правая часть эмпирической кривой оказывается длиннее левой, т.е. имеет место неравенство > Me> Mo, что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака. (среднее значение больше серединного Me и модального Mo).

Если асимметрия левосторонняя (As < 0), то левая часть эмпирической кривой оказывается длиннее правой и выполняется неравенство < Me< Mo, означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения признака (среднее значение меньше серединного Me и модального Mo).

Чем больше величина | As |, тем более асимметрично распределение. Оценочная шкала асимметрии:

| As | 0, 25 - асимметрия незначительная;

0, 25< | As | 0.5 - асимметрия заметная (умеренная);

| As |> 0, 5 - асимметрия существенная.

Вывод: Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов наблюдается заметная левосторонняя асимметрия.

Показатель эксцессаEk характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой.

Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений.

Если Ek > 0, то вершина кривой распределения располагается выше вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине.

Если Ek < 0, то вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin.

Для нормального распределения Ek= 0. При незначительном отклонении Ek от нуля форма кривой эмпирического распределения незначительно отличается от формы нормального распределения.

Чем больше абсолютная величина | Ek|, тем существеннее распределение отличается от нормального.

Вывод: Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов Ek< 0, что свидетельствует о заметном отличии распределения от нормального.

Для признака Выпуск продукции Ek< 0, что также свидетельствует о заметном отличии распределения от нормального.

III. Экономическая интерпретация результатов статистического исследования предприятий