Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число значений.

Пример ДСВ – число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании.

! Задание привести пример ДСВ из окружающей жизни

Законом распределения ДСВ называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).

Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.

Функцией распределения случайной величины называется функция

,

определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .

Свойства функции распределения:

а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0, 1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1;

б) F(x) – неубывающая функция, т.е. если x₂ > x₁, то F(x₂) > F(x₁);

в) F(- ∞) = 0; F(+ ∞) = 1;

г) вероятность того, что случайная величина примет значение из

интервала (причем ), равна:

;

д) F(x) непрерывна слева, т. е. F(x) = F(x – 0)

Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек , соединенных отрезками (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Многоугольники унимодального (а), полимодального (б) и антимодального (в) распределений

Математическим ожиданием ДСВ называется среднее значение данной случайной величины

,

т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности .

Свойства математического ожидания.

а) , где ;

б) ;

в) ;

г) если случайные величины и независимы, то .

Мода распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение. Если мода единственна, то распределение называется унимодальным (рис. 1.3, а), в противном случае – полимодальным (рис. 1.3, б) Если в середине диапазона изменения аргумента наблюдается минимум на графике многоугольника вероятностей, тогда распределение называется антимодальным (рис. 1.3, в).

Медиана – это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0, 5

.

Медиана обычно не определяется для дискретной случайной величины.

Величина , определяемая равенством , называется квантилью порядка . Соответственно квантиль порядка 0, 5 является медианой.

Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания

,

.

Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания

Свойства дисперсии:

а) , где ;

б) ;

в) ,

где – ковариация двух случайных величин и ;

г) если и некоррелированы, то , тогда .

Средним квадратическим отклонением называется величина, которая имеет ту же размерность, что и СВ :

.

Пример Дискретная случайная величина задана законом распределения:

	-1
	0, 1	0, 2	0, 1	0, 6

Найти числовые характеристики СВ: , моду.

Решение. Построим многоугольник распределения данной случайной величины.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

СКО:

Мода равна 2.