Основные законы распределения дискретных случайных величин

1. Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли, принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями и соответственно

Математическое ожидание: СВ X: .

Дисперсия: .

2. Биномиальный закон распределения. Случайная величина , распределенная по биномиальному закону, принимает значения:

0, 1, 2, …, n с вероятностями, определяемыми по формулам Бернулли:

				,,,		,,,

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n =5 и p (для p= 0, 2; 0, 3; 0, 5; 0, 7; 0, 8).

Пример. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую пятую единицу товара денежный приз размером 100 тенге. Найти закон распределения числа сотен тенге, полученных при четырёх сделанных покупках.

Решение Вероятность того, что в случайно сделанной покупке окажется денежный приз, равна p= 1/5=0, 2. Случайная величина X - число покупок, в которые вложен денежный приз, имеет биномиальный закон распределения с параметрами n= 4 и p= 0, 2. Ряд распределения X имеет вид:

значения p_i=P(X=m), (m =0, 1, 2, 3, 4) вычислены по формуле

! Задание построить многогранник распределения

3. Закон распределения Пуассона. Случайная величина , распределенная по закону Пуассона, принимает бесконечное счетное число значений: 0, 1, 2, …, k, …, с соответствующими вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона

,

где – параметр распределения Пуассона.

На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром (для = 0, 5; 1; 2; 3, 5; 5).

При и биномиальный закон распределения приближается к закону распределения Пуассона, где .

Математическое ожидание .

Дисперсия .

Пример В супе объёмом V плавает N перчинок. С какой вероятностью в ложку объёмом V₀ попадёт ровно n перчинок?