Случайная величина и ее закон распределения.

Часть II. Случайные величины.

Дискретные случайные величины

Случайная величина и ее закон распределения.

Случайной величиной X называется любая действительная функция X=X(w), wÎ W, определенная на пространстве элементарных событий W. Если множество значений такой функции конечно или счетно, то такую случайную величину называют дискретной. В результате опыта случайная величина может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Например. При двукратном подбрасывании монеты возможны следующие исходы: , т.е. пространство элементарных событий имеет вид , причем каждый элементарный исход имеет вероятность ¼. Пусть X(w) – число выпадений герба при двукратном бросании монеты, тогда X(w₁)=0, X(w₂)=1, X(w₃)=1, X(w₄)=2. Зная вероятности для элементарных исходов, можно вычислить вероятности для соответствующих значений случайной величины X:

Полученные вероятности можно свести в таблицу(в первой строке перечислены значения случайной величины, а второй – их вероятности):

Такая таблица уже не содержит информацию о том, на каком вероятностном пространстве определена случайная величина, в ней приведены лишь значения случайной величины (в первой строке) и их вероятности (во второй строке).

Законом (или рядом) распределения дискретной случайной величины X называется таблица, в которой перечислены все возможные значения x_1, x₂, …, x_n этой случайной величины и соответствующие им вероятности :

Здесь Если множество значений случайной величины счетно, то эта таблица является бесконечной справа, а сумма

Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины X – числа перепробованных ключей.

Решение. Число перепробованных ключей может равняться 1, 2, 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, Далее, если перепробованных ключей было 2, т.е. X=2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй – подошел. Вероятность этого события равна 2/3× 1/2=1/3. То есть, Аналогично вычисляется вероятность В результате получается следующий закон распределения: