Дискретный случайный вектор.

Пусть на одном и том же пространстве элементарных исходов W заданы две случайные величины X и Y, принимающие значения х_i (i = 1, 2,...) и у_j (j = 1, 2,...), соответственно. Упорядоченная пара (X, Y) называется случайным вектором или двумерной случайной величиной. Совместный закон распределения вероятностей дискретных величин X и Y задается вероятностями одновременного осуществления событий {X = х_i} и {Y = у_j}:

и представляется в виде таблицы

X \ Y	y1	y2	…	ym
x1			…
x2			…
…	…	…	…	…
xn			…

При этом .

Вероятность события типа {(X, Y)Î В} — «случайная точка (X, Y) попадает в заданную область В» — вычисляется по формуле

,

т.е. суммирование идет по всем возможным парам (х_i, y_j) значений случайных величин X, h, для которых соответствующая точка (x_i y_j) входит в область В.

Частным законом распределения случайной величины X называется вероятность события {X = х_i}. Если задан совместный закон распределения, то частный закон распределения для X можно получить с помощью формулы:

.

Аналогично, частным законом распределения h называется вероятность события {Y = y_i}, которую также можно вычислить с помощью формулы:

.

Дискретные случайные величины X, Y называются независимыми, если их совместный закон распределения представляется в виде произведения их частных законов распределения:

для всех значений х_i и у_j,

то есть если независимы случайные события {X = х_i} и {Y = у_j}.

Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин X и Y задан c помощью таблицы

Вычислить частные законы распределения составляющих величин X и Y, определить, зависимы ли они?

Решение. Частное распределение для X получается суммированием вероятностей в строках:

;

;

.

Аналогично получается частное распределение для Y:

;

.

Полученные распределения можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:

Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин X и Y. Для этого в каждой клетке совместного распределения вычислим произведение и сравним его со значением вероятности в этой клетке. Например, в клетке для значений X =-1 и Y=1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4× 1/4 равно 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие проверяется во всех оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех этих клетках. Следовательно, случайные величин X и Y независимы.