Структурные средние

К средним величинам, кроме степенных средних, относят также и структурные средние – моду и медиану.

Если для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака, то мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их и именуют структурными позиционными средними. Мода и медиана характеризуют величину варианты, занимающей определенное положение ранжированном вариационном ряду. Моду и медиану часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Модой называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода широко используется в коммерческой практике и применяется в тех случаях, когда нужно охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака (например, узнать размер обуви, пользуется наибольшим спросом, цену на рынке, по которой было продано наибольшее количество товара и т.д.).

В дискретном вариационном ряду мода соответствует наибольшей частоте наблюдаемого признака.

Пример. По данным табл. 5.5 о продажах обуви определить модальный размер обуви.

Таблица 5.5

Данные о продажах обуви

Модальный размер обуви 37, т.к. обуви этого размера было продано больше всего – 88 пар (наибольшая частота признака в дискретном вариационном ряду).

В интервальном ряду распределения для вычисления моды необходимо определить, в первую очередь, интервал, в котором она находится, т.е. модальный интервал. Модальным интервалом является интервал, в котором наблюдаемый признак имеет наибольшую частоту.

Для определения моды в рядах с равными интервалами пользуются следующей формулой:

(5.11)

где х₀ – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

f_mo – частота модального интервала;

f_mo-1 – частота интервала предшествующего модальному;

f_mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Пример. Имеется группа студентов, которая сгруппирована по росту следующим образом (табл. 5.6).

Таблица 5.6

Рост студентов в группе

Необходимо определить модальный рост – наиболее часто встречающийся рост студентов. В качестве модального принимаем интервал, в котором находится рост студентов в пределах 170-175 см., поскольку в этом интервале имеется 16 студентов – большинство. Тогда, модальный рост студентов составит:

Мода – это именно то число, которое наиболее часто встречается и в практике имеет самое широкое применение. Например, с помощью моды определяют наиболее часто встречающийся тип покупателя. Или, например, при изучении спроса населения по определенный размер обуви, представляет интерес определения модального размера, а средний размер обуви, сам по себе, не имеет какого-либо смысла. В этих случаях, при характеристике совокупности, в качестве обобщающего показателя предпочтение отдается моде, а не средней арифметической.

Медианой называется то значение признака, которое находится в середине вариационного ряда и делит его на две равные части.

Если вариационный ряд дискретный и содержит нечетное число вариант, то значение среднего признака в ряду и будет медианой.

Например: имеются следующие данные о стаже работы (в годах) семи продавцов: 1, 2, 2, 3, 5, 7, 10. Это дискретный вариационный ряд с нечетным числом вариант. В данном примере медианой является четвертая варианта – 3 года.

Если дискретный вариационный ряд содержит четное число вариант, то медианой будет средняя арифметическая двух смежных вариант, находящихся в центре ряда.

Например: бригада из шести продавцов распределена по стажу работы (в годах) следующим образом: 1, 3, 4, 5, 7, 9. Этот дискретный вариационный ряд содержит четное число вариант, центральными из которых являются значения 4 и 5. Тогда медиана определяется как (4+5)/2=4, 5 года.

Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду необходимо сначала определить медианный интервал, т.е. тот интервал, в котором находится медиана. Медианным называется такой интервал, накопленная (кумулятивная) частота которого равна или превышает половину суммы частот.

Для интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле:

(5.12)

где х₀ – нижняя граница медианного интервала;

h – величина медианного интервала;

– полусумма частот медианного интервала;

– кумулятивная частота (сумма накопленных частот) перед медианным интервалом;

– частота медианного интервала.

Пример. вернемся к данным предыдущего примера – группировки студентов по росту. Определим медианный рост студентов. В качестве медианного, принимаем интервал, в котором находится рост студентов в пределах 170-175 см., поскольку накопленная частота в нем , т.е. превышает половину суммы частот . Тогда медианный рост студентов составит:

В рассмотренном примере модальный и медианный интервалы совпадают, то это лишь частный случай. Часто модальный и интервальный – разные интервалы.

Медиана также, в отдельных случаях, имеет большие преимущества перед средней арифметической. Если вариационный ряд относительно небольшой, то на численное значение средней арифметической могут оказывать влияния случайные колебания крайних вариант ряда, что никак не скажется на значении медианы. Например, в интервальном вариационном ряду распределения семей по величине дохода, медиана будет наиболее приемлемой для анализа статистической совокупности.

Заметим, что различие между средней арифметической величиной, модой и медианой обычно невелико, если распределение статистических величин по форме приближается к нормальному закону.

При изучении статистической совокупности в некоторых случаях более приемлемы мода и медиана и вот почему. В отличие от алгебраических средних, которые в значительной мере являются абстрактной характеристикой статистического ряда распределения, мода и медиана выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами этого ряда. Это делает их незаменимыми при решении ряда практических задач. Так, при определении объема производства и реализации наиболее ходовых по размерам товаров (обуви, одежды) было бы странным пользоваться средней арифметической. Мода в этом случае наиболее подходящая величина. Медиана удобна в том случае, когда среднее значение ряда должно иметь определенные конкретные характеристики. Например, если ряд распределения семей по количеству членов семьи или ряд распределения предприятий по степени ритмичности их работы, то в этих случаях медиана (как, впрочем, и мода) будет более убедительной для анализа.