Пример. 2. Интегрирование дробно-рациональных функций

=

= = =

= .

2. Интегрирование дробно-рациональных функций. Отношение двух многочленов (P_m(x) – многочлен степени m, а Q_n(x) – многочлен степени n) – называется дробно-рациональной функцией (рациональной дробью).

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, т.е. m < n, в противном случае рациональная дробь – неправильная.

Имеет место утверждение: всякую неправильную рациональную дробь путём деления числителя на знаменатель можно представит в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, т.е.

Например, - неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель

6x⁵ – 8x⁴ – 25x³ + 20x² – 76x – 7 3x³ – 4x² – 17x + 6

6x⁵ – 8x⁴ – 34x³ + 12x² 2x² + 3

9x³ + 8x² – 76x - 7

9x³ – 12x² – 51x +18

20x² – 25x – 25

Получим частное и остаток . Поэтому

= + .

Теорема. Если - правильная рациональная дробь, знаменатель Q(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей

Q(x) = ,

то эта дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:

где A_i, A₂, …, B₁, B₂, …, M₁, N₁, …, R₁, S₁, … – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Так как (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Таким образом,