Интегрирование дифференциальных биномов

Интегралы типа называются интегралами от дифференциального бинома, где a, b – действительные числа; m, n, и p – рациональные числа.

Как было доказано Чебышевым П.А., интеграл от дифференциального бинома может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки , где l - общий знаменатель m и n.

2) Если - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.

3) Если - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

Во всех остальных случаях интегралы типа не выражаются через известные элементарные функции.

Пример. Найти интеграл I = .

Так как дифференциальный бином - ,

то . Поэтому делаем подстановку ,

тогда , . В результате

I = =

= .