Точек разрыва функции.

Функция у = f (х)называется непрерывной при х = x ₀ (в точке x ₀), если:

1) функция f (х) определена в точке x ₀и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции f (х)в точке x ₀;

3) этот предел равен значению функции в точке x ₀, то есть

(2)

Если положить х=x₀ + , то условие непрерывности (2) будет равносильно условию

т. Е. функция у = f (х)непрерывна в точке x ₀тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Точка x ₀, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непре­рывности функции, называется точкой разрывафункции. Если в точке x ₀существуют конечные пределы f (x ₀ - 0) и f (x ₀ +0), такие, что f (x ₀ - 0) f (x ₀+0), то x ₀называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов f (x ₀ - 0) и f (x ₀+0) не существует или равен бесконечности, то точку x ₀называют точкой разрыва второго рода. Если f (x ₀ - 0) =f (x ₀ +0) и функция f (х)не определена в точке x ₀, то точку x ₀называют устранимой точкой разрыва функции.

Свойства непрерывных функций:

1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция (при условии, что знаменатель отличен от нуля).

2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

3. Теорема 1 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

4. Теорема 2 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

5. Теорема 1 (Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция обращается в ноль.

Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.146-155

Практическое занятие 6