Примеры решения задач. Частица в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике шириной находится в возбужденном состоянии с квантовым числом 3

Задача 9

Частица в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике шириной находится в возбужденном состоянии с квантовым числом 3. Определить, в каких точках интервала 0< x < плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения.

Решение

Для частицы в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике волновая функция равна , где . Квадрат модуля волновой функции равен искомой плотности вероятности: . Таким образом, задача сводится к поиску экстремумов функции на промежутке 0< x < . Поскольку функция неотрицательна, её минимальным значением будет нуль, и x _min можно найти, решая уравнение: ; . Тогда . При n =3 в интервал 0< x < попадают 2 решения: и .

Для нахождения максимума функции её производную приравняем к нулю: , что даёт два уравнения: и . Первое, очевидно, соответствует уже найденным минимумам; второе даст искомые максимумы: Отсюда ; ; .

График функции представлен на рис.4.

Ответ: и ;

; ; .