Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Общие понятия и определения.
|
|
Определенный интеграл
| Интегральная сумма ∑ f(ki)Δ xi (от i=1 до n) где ki произвольная точка соответствующего отрезка | |
Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b]
| |
Формула Ньютона — Лейбница
 , где F(a) и F(b) первообразная функции f(x)при замене х на а и b, т е F′ (x)=f(x)
| |
свойства определенного интеграла
| |
| |
| |
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,
| |
Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f1(x)и у = f2(x) [ f'2(x)≥ f1(x)]и двумя прямыми х=а и х=b,
|
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Понятие о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения используются при изучении явлений и процессов в физике, химии, биологии, медицине, фармации, астрофизике, кибернетике, социологии и других областях знаний. Сформулировав задачу на языке дифференциальных уравнений, специалист любой отрасли знаний получает в руки готовый аппарат для численного решения задачи, изучения качественных особенностей этого решения. Многие вопросы естествознания и техники сводятся к нахождению неизвестной функции у = f(x), если известно уравнение, содержащее х, у и производные разных порядков функции f(x): f¢ (x), f¢ ¢ (x), …, f(n)(x) или дифференциалы функции df, d2f, …, dnf. Такие уравнения называются дифференциальными.
Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению: установить закон изменения скорости u свободно падающего тела массой т без учета силы сопротивления воздуха.
Согласно второму закону Ньютона,
где mg – сила тяжести.
Полученное уравнение является дифференциальным, так как в него входит производная du/dt искомой функции u.
Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию u = f(t), которая тождественно удовлетворяет этому уравнению. Легко проверить, что уравнению удовлетворяет функция вида u = gt + C, где С – любое число. Указав начальные условия, можно найти одну функцию, удовлетворяющую уравнению. Так, если при t = 0 u = u0, то получим функцию u = u0 + gt.
Существует много задач из различных областей знаний, решение которых сводится к составлению и решению дифференциальных уравнений.
Основные определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дифференциальным называют уравнение, связывающее аргумент х, искомую функцию у = f(x), ее производные f¢ (x), f¢ ¢ (x), …, f(п)(x) или дифференциалы df, d2f, …, dпf.
Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать так:
F(x, f(x), f¢ (x), f¢ ¢ (x), …, f(п)(x)) = 0
или
F(x, y, y¢, y¢ ¢, …, y(n)) = 0.
Если искомая функция y = f(x) есть функция одного аргумента, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.
Если функция u = f(x, y, z, …, t) зависит от двух и большего числа аргументов, то уравнение будет содержать частные производные 
и т.д. Такое уравнение носит название дифференциального уравнения в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной или дифференциала, входящих в уравнение.
Например, у¢ = 2ху2 + 5 – уравнение первого порядка, а у¢ ¢ + у =0 – второго.
Общим решением дифференциального уравнения порядка r называется функция y = f(x, C1, C2, …, Cr) от х с произвольными постоянными C1, C2, …, Cr, обращающая это уравнение в тождество.
Общее решение, записанное в неявном виде Ф(x, у, C1, …, Cr) = 0, называется общим интегралом.
Так, решением дифференциального уравнения у¢ ¢ + у =0 является функция
у = С1 sin x + C2 cos x, где C1 и C2 – произвольные постоянные. При подстановке функции у = С1 sin x + C2 cos x в уравнение у¢ ¢ + у =0 оно превращается в тождество. Действительно,
у¢ х = C1 cos x – С2 sin x; у¢ ¢ хх = - С1 sin x - C2 cos x;
- С1 sin x - C2 cos x + С1 sin x + C2 cos x =0.
При любом наборе конкретных постоянных получаются частные решения. На практике частное решение получают из общего не прямым заданием значений произвольных постоянных, а с учетом тех условий, которым должно удовлетворять искомое частное решение. Задание таких условий называется заданием начальных условий и записывается кратко так:
f(x0) = y0; f¢ (x0) = y¢ 0; …; f(r-1)(x0) = y0(r-1).
Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.