![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Обработка результатов прямых равноточных измерений.
Погрешности прямых измерений, в зависимости от причин их вызывающих, делятся на случайные, систематические и промахи (грубые ошибки). Промах. Промахом называется грубая погрешность, возникшая из-за невнимательности, непреднамеренного отклонения от стандартных условий эксперимента. Обычно в серии равноточных измерений промахи отчетливо видны. Их следует исключить и не учитывать при обработке результатов измерений. Случайные ошибки. Под случайными ошибками понимают ошибки, связанные с неконтролируемыми изменениями условий равноточных опытов, приводящими к разбросу численных значений измеряемой величины. Если измеряемая величина может принимать непрерывные значения, то ее нельзя измерить абсолютно точно. В этом случае говорят, что результаты измерений носят случайный характер. Пусть Отметим, что истинное значение может вообще не существовать. Во всяком случае, оно практически никогда не известно. Так, измеряя длину цилиндра, мы предполагаем, что это прямой цилиндр, с идеально параллельными друг другу торцами. Так как это может не соответствовать действительности, то об истинной длине цилиндра говорить не имеет смысла. Это же замечание относится к определению «истинной» длины нити, легко подвергающейся деформации растяжения. В дальнейшем будем предполагать, что истинное значение измеряемой величины существует. Как следует из теории погрешностей [1], за наиболее вероятное значение измеряемой величины X обычно принимают ее среднее арифметическое значение, вычисленное по результатам n равноточных измерений:
при этом n должно быть достаточно большим. Отклонения измеренных значений от среднего Известно, что мерой осуществления случайного события А является его вероятность Р(А). Если в n однородных испытаниях событие А произошло k раз, то величина
Из определения вероятности следует, что Обозначим за называют доверительной вероятностью или надежностью. Ширина довери-тельного интервала, равная 2 Задавая значение доверительной вероятности случайную погрешность Случайная погрешность определяется по формуле:
величина
Из табл.1 видно, что для определенного значения n увеличение довери-тельной вероятности сопровождается увеличением Систематические ошибки. Систематические ошибки связаны с несовершенством методики измерений, с ограниченностью точности измери-тельных приборов, с особенностями объекта исследования. Как правило, эти ошибки могут быть учтены. Так, например, измерение силы тока и напряжения для определения сопротивления проводника по закону Ома сопровождается нагреванием последнего, т.е. изменением сопротивления исследуемого объекта. Для учета возникающей при этом систематической погрешности следует ввести в расчетную формулу соответствующую поправку и добавить к измерениям силы тока и напряжения измерение температуры. Более простой способ –включение тока на короткий промежуток времени для исключения возможности заметного нагревания проводника. Отметим, что каких-либо универсальных правил учета систематических погрешностей, связанных с методикой измерений, не существует. В каждом случае это вопрос отдельного анализа и критического отношения к эксперименту. Систематические ошибки, связанные с ограниченной точностью приборов, подлежат учету. Характеристики электроизмерительных приборов: Предел измерения – максимальное значение измеряемой данным прибором величины. У одного прибора может быть несколько пределов измерения. Цена деления – для равномерной шкалы это величина, равная пределу измерения прибора, деленному на число делений шкалы. Класс точности – число, равное максимальной относительной погреш-ности в процентах, которую вносит прибор при измерении на пределе используемой шкалы. Это число определяет максимальную абсолютную погрешность измерения данным прибором. Класс точности электроизмерительных приборов, как правило, указан на лицевой части прибора в виде отдельного числа: 0.2 или 0.5 или 1.0 или 1.5 и т.д. Рассмотрим миллиамперметр, предел измерения которого равен 150 мА; число делений шкалы 30; цена деления 150: 30=5 мА; класс точности 2.0. Максимальная абсолютная погрешность (приборная погрешность):
Пример 1: отклонению стрелки или светового индикатора на 5 делений соответствует показание прибора
Пример 2: отклонению стрелки или светового индикатора на 30 делений соответствует показание прибора
Приведенные два примера иллюстрируют как, зная класс точности прибора и абсолютную погрешность, определить относительную погрешность изме-рения. Из этих же примеров видно, что наименьшую относительную пог-решность прибор вносит при измерении на пределе используемой шкалы (пример 2). В случае отсутствия класса точности следует исходить из паспортных данных прибора. Обычно, в качестве максимальной абсолютной погреш-ности Вероятность, с которой истинное значение величины X не выйдет за границы интервала Для окончательной записи результата прямых равноточных измерений вычисляется погрешность измерений, учитывающая как случайную, так и систематическую погрешности измерения. В теории ошибок [2] суммарную погрешность прямых измерений определяют по формуле:
Если одна из погрешностей
В приведенном примере погрешность определяется фактически только приборной погрешностью. Это тот случай, когда число измерений n может быть уменьшено, а для получения большей точности результата следует сменить измерительный прибор на более точный. В другом случае, когда Для иллюстрации выше изложенного порядка определения погрешности прямых измерений вернемся к виртуальной лабораторной работе «Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника». Длину нити маятника L измеряем 5 раз при помощи обычной ученической линейки, для которой
Табл.2
Табл.3
Следует отметить, что среднее значение измеряемой величины (формула 3) записывают с точностью, с которой получены результаты прямых измерений. Для
Для
В этих примерах выражение (3) для более удобного вычисления
где Из формул (4) и (5) получим формулу для вычисления квадрата случайной погрешности:
В нашем примере для
Заметим, что при расчетах погрешностей вычисления производят, сохраняя не более 2-х значащих цифр. Более точные вычисления не имеют смысла, т.к. в окончательном результате в погрешности сохраняется только одна значащая цифра.
Как видно из расчетов, в случае длины преобладающей была случайная погрешность. Поэтому с вероятностью 70% значение длины нити маятника находится в пределах от 99, 9 до 100, 1см. В случае периода преобладающей явилась приборная погрешность. Поэтому с вероятностью большей 70% и близкой к 1 время одного полного колебания находится в пределах от 1, 8 до 2, 2 с. Результаты прямых равноточных измерений после округления принимают вид:
В данном примере при измерении величины L оказалась преобладающей случайная погрешность, а при расчете величины T - систематическая погрешность, поэтому для них указаны разные доверительные вероятности. В тех случаях, когда эти погрешности сравнимы между собой, рекомендуется указывать наименьшую из заданных для них доверительных вероятностей. В лаборатории физики это будет доверительная вероятность, выбранная для случайной погрешности.
Подставляя результаты прямых измерений в формулу (1), получаем величину ускорения свободного падения g:
. (9)
Принимая во внимание, что во всех работах учебной лаборатории относительная погрешность косвенного измерения не бывает меньше 1%, для предварительной записи результата косвенного измерения достаточно использовать не более 3-х значащих цифр. Точность окончательной записи результата (число значащих цифр) определяется погрешностью косвенного измерения, вычислению которой посвящен следующий раздел данного пособия.
|