![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Определение погрешности косвенного измерения.
Формулы вычисления погрешностей косвенных измерений основаны на представлениях дифференциального исчисления. Пусть зависимость величины Y от измеряемой величины Z имеет простой вид:
Здесь
Получим формулу абсолютной погрешности в общем случае функции од-ной переменной аргумента z0 соответствует точное значение функции y0 = f(z0). Измеренное зна-чение аргумента отличается от точного значения аргумента на величину Δ z вследствие ошибок измерений. Значение функции будет отличаться от точного на величину Δ y. Из геометрического смысла производной как тангенса угла наклона касательной к кривой в данной точке (рис. 1) следует:
Формула для относительной погрешности косвенного измерения в случае функции одной переменной будет иметь вид:
Учитывая, что дифференциал функции
Если косвенное измерение представляет собой функцию m переменных
Таким образом, чтобы найти частную погрешность косвенного измерения Результирующая абсолютная погрешность косвенного измерения [1]:
или с учетом (13)
Относительная погрешность косвенного измерения
Или с учетом (11) и (12)
Пользуясь (14) и (15), находят одну из погрешностей, абсолютную или относительную, в зависимости от удобства вычислений. Так, например, если рабочая формула имеет вид произведения, отношения измеряемых величин, ее легко логарифмировать и по формуле (15) определить относительную погрешность косвенного измерения. Затем абсолютную погрешность вычислить по формуле (16):
Рабочая формула (1) имеет вид отношения измеряемых величин:
Поэтому начнем с определения относительной погрешности. Для этого прологарифмируем данное выражение, а затем вычислим частные произ-водные:
Подстановка в формулу (15) приводит к формуле относительной погрешности косвенного измерения:
После подстановка результатов прямых измерений {
Для вычисления абсолютной погрешности используем выражение (16) и ранее вычисленное значение (9) ускорения свободного падения g:
Результат вычисления абсолютной погрешности округляем до одной значащей цифры. Вычисленное значение абсолютной погрешности определяет точность записи окончательного результата:
При этом доверительная вероятность определяется доверительной вероятностью тех из прямых измерений, которые внесли решающий вклад в погрешность косвенного измерения. В данном случае это измерения периода. Таким образом, с вероятностью близкой к 1 величина g лежит в пределах от 8 до 12 Для получения более точного значения ускорения свободного падения g необходимо совершенствовать методику измерений. С этой целью надо уменьшить относительную погрешность Для этого надо измерять время не одного полного колебания, а, например, 10-ти полных колебаний. Тогда, как следует из (2), формула относительной погрешности примет вид:
В табл.4 представлены результаты измерения времени полных колебаний маятника. Табл.4
Проведя расчет по формуле (8) (как и в случае измерения периода возьмем α = 0, 7), получаем
Полная погрешность измерения времени
Здесь случайной погрешности соответствует доверительная вероятность α = 0, 7, а приборной погрешности соответствует доверительная вероятность, близкая к 1. В данном случае случайная и приборная погрешности оказались сопоставимы между собой. В такой ситуации берется наименьшая из доверительных вероятностей. Следовательно, для полной погрешности следует взять α = 0, 7. Для величины L возьмем результаты измерений из табл.2. Подставляя результаты прямых измерений в формулу (20), найдем относительную погрешность косвенного измерения:
По формуле (2) вычислим значение косвенно измеряемой величины:
Далее вычислим абсолютную погрешность:
Окончательный результат записывается в виде:
В этом примере показана роль формулы относительной погрешности в анализе возможных направлений совершенствования методики измерений.
|