Погрешности косвенных измерений. При косвенных измерениях искомую величину рассматривают как функцию одной или нескольких других величин x

При косвенных измерениях искомую величину рассматривают как функцию одной или нескольких других величин x, y, z, измеряемых непосредственно при проведении эксперимента. Рассмотрим следующие случаи.

1). Искомая величина - функция одной переменной. Пусть = (x). Например, нужно найти площадь поперечного сечения проволоки, которая является функцией измеряемого прибором диаметра: .

При измерении величины x будет допущена погрешность, которую вычисляют по формулам (3) и (4). За счет этого полученное значение тоже будет содержать некоторую погрешность . Для оценки погрешности функции удобно пользоваться формулами дифференциального исчисления, из которых следует:

а) абсолютная погрешность функции равна абсолютной погрешности аргумента, умноженной на производную этой функции по этому аргументу:

(5)

б) относительная погрешность функции равна абсолютной погрешности аргумента, умноженной на производную от логарифма этой функции по этому аргументу: (6)

Заметим, что обе формулы (5) и (6) одновременно не используют, так как, если найдена одна из погрешностей (абсолютная или относительная), можно найти другую из соотношения: .

2). Если искомая величина является функцией нескольких переменных = (x, y, z), то погрешность функции состоит из нескольких " частных" погрешностей , обусловленных каждой переменной в отдельности. Каждую из " частных" погрешностей находят по формулам (5) или (6), причем при нахождении берут частную производную по x; остальные переменные y и z при этом считают постоянными коэффициентами. Аналогично - для . Все частные производные вычисляют при средних значениях . Погрешности (если это случайные погрешности) должны быть вычислены при одном и том же значении коэффициента надежности a.

а) Общую абсолютную погрешность функции определяют через " частные" погрешности следующим образом: (7)

б) Общую относительную погрешность функции аналогичным образом выражают через " частные" относительные погрешности. Например, , тогда (8)

Формула (7) удобнее, если функция представляет собой сумму, а (8) - если произведение.

3). В некоторых случаях косвенных измерений вычисление случайных погрешностей можно свести к уже рассмотренным для прямых измерений способам. Это бывает, если косвенные измерения произведены несколько раз, но условия измерения невоспроизводимы. Тогда данные прямых измерений нельзя усреднять. Например, определяя скорости пули, мы не можем повторить измерение с одной и той же пулей, а измеряем скорость нескольких пуль. В таких случаях значение функции (скорость пули) вычисляют для каждого отдельного измерения и получают набор значений функции ₁, ₂,..., _n, где ₁= (x₁, y₁, z₁) и т.д. Полученные значения обрабатывают, как при прямых измерениях: находят среднее значение функции , среднюю квадратичную погрешность, коэффициент Стьюдента t и . Этим способом удобно пользоваться, если погрешности приборов значительно меньше случайных погрешностей и ими можно пренебречь. В противном случае нужно найти полную погрешность по формулам (7) или (8).

ПРИМЕР 2. Пусть искомая величина представляет собой плотность шарика, которая выражена через его массу и объем:

Здесь плотность r есть функция массы m и диаметра d, которые измерены непосредственно. Так как функция представляет собой произведение, то удобнее найти сначала относительную погрешность e_r по формуле (8). Для этого нужно прологарифмировать функцию r=r(m, d), а затем найти частные производные по m и d:

.

Частные погрешности

Общая относительная погрешность плотности

m и d будут известны из прямых измерений; абсолютные погрешности и определяют по формулам (3) и (4). Относительные погрешности и можно представить в процентах, тогда тоже получим в процентах. Абсолютная погрешность плотности будет , где выражено не в процентах, а просто дробью.

ПРИМЕР 3. Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают падение в ней металлического шарика и измеряют время прохождения им определенного пути. Наблюдают последовательно падение нескольких разных шариков. Коэффициент вязкости определяют по формуле:

Величины d, l и t измеряют непосредственно, причем погрешности приборов очень малы.

В этом случае нужно вычислить _i для каждого шарика отдельно. Получим несколько значений ₁, ₂,..., _n. Затем находим среднее значение коэффициента вязкости , среднюю квадратичную погрешность S, коэффициент Стьюдента t и случайную погрешность и далее, как в примере 1, относительную погрешность и окончательный результат:

= при e_h =..., α =…..