Моделювання лінійних систем.

Процесів і об'єктів.

Важливою з точки зору подальшого аналізу властивістю є її лінійність. У лінійній математичній моделі ТЕ його параметри зв'язані лінійними співвідношеннями. Це означає, що при зміні якого-небудь зовнішнього (або внутрішнього) параметра ТЕ лінійна ММ передбачає лінійну зміну залежного від нього вихідного параметра, а при зміні два або більш за параметри — складання їх впливів тобто така ММ володіє властивістю суперпозиції (від латинського слова superpositio — накладення). Якщо ММ не володіє властивістю суперпозиції, то її називають нелінійною.

Для кількісного аналізу лінійних ММ розроблено велике число математичних методів, тоді як можливості аналізу нелінійних ММ пов'язані в основному з методами обчислювальної математики [1, 2]. Аби для дослідження нелінійною ММ ТЕ можна було використовувати аналітичні методи її зазвичай лінеаризують, тобто нелінійні співвідношення між параметрами замінюють наближеними лінійними і отримують так звану лінеаризовану математичну модель того, що розглядається ТЕ. Оскільки лінеаризація пов'язана з внесенням додаткових погрішностей, то до результатів аналізу лінеаризованої моделі слід відноситися з певною обережністю. Річ у тому, що лінеаризація ММ може привести до втрати або істотного спотворення реальних властивостей ТЕ. Облік в ММ нелінійних ефектів особливо важливий, наприклад, при описі зміни форм руху або положень рівноваги ТЕ, коли малі зміни вхідних параметрів можуть викликати якісні зміни в його стані.

Моделювання лінійних систем.

Моделювання лінійних систем застосовується головним чином по чотирьох причинах, а саме:

1. Фізичні системи і їх моделі часто бувають ліній­ними, принаймні, в певних межах.

2. Точні вирішення лінійних систем рівнянь можуть бути лег­ко знайдені.

3. Існують спеціальні високоточні методи моделювання лінійних систем.

4. За допомогою лінійних систем можна оцінити спотворення в­
нелінійних системах.

Аналітичні методи вирішення нелінійних систем існують швидше як виняток, ніж як правило. Навіть при нагоді знаходження точних рішень необхідні наближені методи. Певні методи апроксимації часто належать до методів оцінки конкретного варіанту і вимагають детального розгляду, аби уникнути узагальнень.

На початку даної лекції звернемо увагу на лінійні си­стеми, оскільки їх математичні моделі мають великі мож­ливості для аналітичного опису, чим математичні моделі нелінійних систем.

Допустимо, збурююча функція f₁ (t), що змінюється у вре­мени, викличе реакцію r(t) і друга збурююча функція f₂ (t) викличе реакцію r₂ (t).