Властивості математичних моделей

Класифікація моделей.

Моделі взагалі і імітаційні моделі зокрема можна класифікувати різними способами [1]. На жаль, жоден з них не є повністю задовільним, хоча кожний служить певній меті. Вкажемо деякі типові групи моделей, які можуть бути покладено в основу системи класифікації:

— статичні (наприклад, поперечний розріз об'єкту) і динамічні (часові ряди);

— детерміністи і стохастичні;

— дискретні і безперервні;

— лінійні і нелінійні;

— стаціонарні і нестаціонарні;

— натурні, аналогові, символічні та ін.

Започатковану класифікацію можна подовжити для визначення моделей за іншими характеристиками. В процесі вивчення даної навчальної дисципліни ми досить детально продовжимо знайомство з наведеними вище класифікаційними ознаками моделей.

При моделюванні складної системи дослідник, зазвичай, вимушений використовувати сукупність декількох моделей з числа різновидів, згаданих вище. Будь-яка система або підсистема може бути представлена різними способами, які значно відрізняються один від одного по складності і деталізації. В більшості випадків в результаті системних досліджень з'являються декілька різних моделей однієї і тієї ж системи. Але звичайно у міру того, як дослідник глибше аналізує і краще розуміє проблему, прості моделі замінюються все більш складними.

Властивості математичних моделей

Зі сказаного раніше випливає, що при вивченні реально існуючого або мислимого технічного об'єкту (ТО) математичні методи застосовують до його математичної моделі (ММ). Це застосування буде ефективним, якщо властивості ММ задовольняють певним вимогам. Розглянемо основні з цих властивостей.

Повнота ММ дозволяє відобразити в достатній мірі саме ті характеристики та особливості ТО, які цікавлять нас з точки зору поставленої мети проведення обчислювального експерименту. Наприклад, модель може достатньо повно описувати процеси, що протікають в об'єкті, але не відбивати його габаритні, масові або вартісні показники. Так, ММ резистора у вигляді добре відомої формули U = IR закону Ома має властивість повноти лише з точки зору встановлення зв'язку між падінням електричної напруги U на резисторі, його опором R і струмом силою I, який протікає через нього, але не дає ніякої інформації про розміри, маси, теплостійкості, вартості та інших характеристиках резистора, по відношенню до яких вона не є повною. Відзначимо попутно, що в ММ, що розглядаємо, опір R резистора виступає в ролі його внутрішнього параметра, тоді якщо задано U, то I буде вихідним параметром a U - зовнішнім параметром, і навпаки.

Точність ММ дає можливість забезпечити прийнятне збіг реальних і знайдених за допомогою ММ значень вихідних параметрів ТО, що складають вектор

R ⁿ. (2.1)

Нехай і - знайдене за допомогою ММ і реальне значення i - го вихідного параметра. Тоді відносна похибка ММ по відношенню до цього параметру дорівнює

В якості скалярної оцінки вектора

R ⁿ

Можна прийняти будь-яку його норму, наприклад

или

Оскільки вихідні параметри ТО за допомогою ММ пов'язані з його зовнішніми і внутрішніми параметрами, то , як кількісна характеристики точності моделі цього ТО, буде залежати від координат векторів х і g.

Адекватність ММ - це здатність ММ відображати характеристики ТО з відносною похибкою не більше деякого заданого значення. Нехай при деяких очікуваних номінальних значеннях зовнішніх параметрів ТО, які складають вектор g _ном з умови мінімуму шляхом вирішення задачі скінченомірної оптимізації [3], знайдені значення внутрішніх параметрів, що складають вектор g _ном і які забезпечують мінімальне значення відносної похибки ММ. Тоді при фіксованому векторі g _ном можна побудувати множину

X = , (2.2)

яка носить назву області адекватності даної ММ. Ясно, що X = при , а чим більше задане значення тим ширше область адекватності ММ, тобто ця ММ застосовна у більш широкому діапазоні можливої зміни зовнішніх параметрів ТО.

У більш загальному сенсі під адекватністю ММ розуміють правильний якісний і досить точний кількісний опис саме тих характеристик ТО, які є важливі в даному конкретному випадку. Модель, адекватна при виборі одних характеристик, може бути неадекватною при виборі інших характеристик того ж ТО. У ряді прикладних областей, ще недостатньо підготовлених до застосування кількісних математичних методів, ММ мають головним чином якісний характер. Ця ситуація типова, наприклад, для біологічної та соціальної сфер, в яких кількісні закономірності не завжди піддаються строгої математичної формалізації. У таких випадках під адекватністю ММ природно розуміти лише правильний якісний опис поведінки досліджуваних об'єктів або їх систем.

Економічність ММ оцінюють витратами на обчислювальні ресурси (машинний час і пам'ять), необхідні для реалізації ММ на ЕОМ. Ці витрати залежать від числа арифметичних операцій при використанні моделі, від розмірності простору фазових змінних, від особливостей застосовуваної ЕОМ та інших факторів. Очевидно, що вимоги економічності, високої точності і досить широкої області адекватності ММ суперечливі і на практиці можуть бути задоволені лише на основі розумного компромісу. Властивість економічності ММ часто пов'язують з її простотою. Більше того, кількісний аналіз деяких спрощених варіантів ММ може бути здійснений і без залучення сучасної обчислювальної техніки. Однак його результати можуть мати лише обмежену цінність на стадії налагодження алгоритму або ЕОМ-програми (див. підрозділ 1.4 і рис. 1.2), якщо спрощення ММ не погоджено з розрахунковою схемою ТО.

Робастність ММ (від англійського слова robust - кріпкий, стійкий) характеризує її стійкість по відношенню до похибок вихідних даних, здатність нівелювати ці похибки і не допускати їх надмірного впливу на результат обчислювального експерименту. Причинами низької робастності ММ можуть бути необхідність при її кількісному аналізі віднімання близьких один до одного наближених значень величин або поділу на малу по модулю величину, а також використання в ММ функцій, швидко мінливих в проміжку, де значення аргументу відомо з невисокою точністю. Іноді прагнення збільшити повноту ММ призводить до зниження її робастності внаслідок введення додаткових параметрів, відомих з невисокою точністю, або якщо вони входять до складу занадто наближених співвідношень.

Продуктивність ММ пов'язана з можливістю одержати досить достовірні вихідні дані. Якщо вони є результатом вимірювань, то точність їх вимірювання повинна бути вище, ніж для тих параметрів, які отримуються при використанні ММ. В іншому випадку ММ буде непродуктивною і її застосування для аналізу конкретного ТО втрачає сенс. Її можна буде використовувати лише для оцінки характеристик деякого класу ТО з гіпотетичними вихідними даними.

Наочність ММ є її бажаною, але необов’язковою властивістю. Проте використання ММ та її модифікація спрощуються, якщо її складові (наприклад, окремі члени рівнянь) мають ясний змістовний сенс. Це зазвичай дозволяє орієнтовно передбачити результати обчислювального експерименту і полегшує контроль їх правильності.

Надалі, у наступних лекціях на конкретних прикладах будуть проілюстровані зазначені вище властивості ММ.